2014届高三数学一轮复习：垂直关系

1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．任何(2)定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条都垂直，那么该直线与此平面垂直.⇒l⊥α相交直线aαbαl⊥al⊥ba∩b＝A文字语言图形语言符号语言性质定理如果两条直线同，那么这两条直线平行.⇒a∥b垂直于一个平面a⊥αb⊥α2．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．直二面角(2)定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条，那么这两个平面互相垂直.⇒β⊥α性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的直线垂直于另一个平面.⇒AB⊥α垂线交线ABβAB⊥αα⊥βα∩β＝MNAB⊥MNABβ3．二面角二面角的定义从一条直线出发的所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的，这两个半平面叫作二面角的．二面角的平面角以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．平面角是的二面角叫作直二面角.两个半平面棱面垂直于直角[动漫演示更形象，见配套课件][小题能否全取]1．(教材习题改编)已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则()A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直解析：对于A中可与α平行或相交，不正确．对于B中，可与α垂直或斜交，不正确．对于C中，可与直线l平行或相交，不正确．答案：D2.(2012·厦门模拟)如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()A．A1DB．AA1C．A1D1D．A1C1解析：易知AC⊥平面BB1D1D.∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥B1O.答案：D3．(2011·浙江高考)下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项易知均是正确的．答案：D4．已知直线l⊥平面α，直线m平面β，下面有三个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的序号为________．解析：对于①，由l⊥α，α∥β，得l⊥β，又mβ，故l⊥m，故①正确；对于②，由条件不一定得到l∥m，还有l与m相交和异面的情况，故②错误；对于③，显然正确．答案：①③5．(教材习题改编)如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是__________(填序号)①平面ABC⊥平面ABD②平面ABD⊥平面BCD③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故只有③正确．答案：③1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：2．在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理．3．几个常用的结论：(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．垂直关系的基本问题[例1](2013·襄州模拟)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m、n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直．其中的假命题的序号是________．[自主解答]①显然错误，因为平面α∥平面β，平面α内的所有直线都平行β，所以β内的两条相交直线可同时平行于α；②正确；如图1所示，若α∩β＝l，且n∥l，当m⊥α时，m⊥n，但n∥β，所以③错误；如图2显然当m′⊥n′时，m不垂直于n，所以④错误．[答案]①③④解决此类问题常用的方法有：①依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；②否定命题时只需举一个反例．③寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．1．(2012·长春模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：对于①，由b不在平面α内知，直线b或者平行于平面α，或者与平面α相交，若直线b与平面α相交，则直线b与直线a不可能垂直，这与已知“a⊥b”相矛盾，因此①正确．对于②，由a∥α知，在平面α内必存在直线a1∥a，又a⊥β，所以有a1⊥β，所以α⊥β，②正确．对于③，若直线a与平面α相交于点A，过点A作平面α、β的交线的垂线m，则m⊥β，又α⊥β，则有a∥m，这与“直线a、m有公共点A”相矛盾，因此③正确．对于④，过空间一点O分别向平面α、β引垂线a1、b1，则有a∥a1，b∥b1，又a⊥b，所以a1⊥b1，所以α⊥β，因此④正确．综上所述，其中正确命题的个数为4.答案:D直线与平面垂直的判定与性质[例2](2012·广东高考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝12AB，PH为△PAD中AD边上的高．(1)证明：PH⊥平面ABCD；(2)若PH＝1，AD＝2，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；(3)证明：EF⊥平面PAB.[自主解答](1)证明：因为AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，所以PH⊥AB.因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.因为PH⊄平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.(2)如图，连接BH，取BH的中点G，连接EG.因为E是PB的中点，所以EG∥PH，且EG＝12PH＝12.因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD.因为AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥AD.所以底面ABCD为直角梯形．所以VE－BCF＝13S△BCF·EG＝13·12·FC·AD·EG＝212.(3)证明：取PA中点M，连接MD，ME.因为E是PB的中点，所以ME綊12AB.又因为DF綊12AB，所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD.因为PD＝AD，所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理．(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(4)利用面面垂直的性质．当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．2．(2013·启东模拟)如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.证明：(1)连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN＝12PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB.从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN＝12PC.∴AN＝BN.∴△ABN为等腰三角形，又M为AB的中点，∴MN⊥AB，又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.(2)连接PM，MC，∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD.∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∴AP＝BC.又∵M为AB的中点，∴AM＝BM.而∠PAM＝∠CBM＝90°，∴△PAM≌△CBM.∴PM＝CM.又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.面面垂直的判定与性质[例3](2012·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.[自主解答](1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.1．判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直．转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．3.如右图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB＝BC1，E、F、G分别为线段AC1、A1C1、BB1的中点，求证：(1)平面ABC⊥平面ABC1(2)FG⊥平面AB1C1.证明：(1)∵AB⊥BC，BC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴BC⊥平面ABC1.∵BC平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.(2)∵AB＝BC1，E是AC1的中点，∴EB⊥AC1.∵BC∥B1C1，又由(1)知BC⊥平面ABC1，∴B1C1⊥平面ABC1.∵BE平面ABC1，∴B1C1⊥BE.∵AC1∩B1C1＝C1，∴BE⊥平面AB1C1.∵F是A1C1的中点，∴EF綊12AA1.又BG綊12AA1，∴EF綊BG.∴四边形EFGB是平行四边形，∴BE∥FG.∴FG⊥平面AB1C1.空间的位置关系，特别是平行与垂直的位置关系是整个立体几何的基础，也是立体几何的重点，是考查空间想象能力的“主战场”，所以空间直线、平面的位置关系，特别是线面、面面的平行与垂直关系的判定与证明，成为立体几何复习的重点内容之一，每年的高考数学试题对立体几何的考查，一方面以选择题、填空题的形式直接考查线线、线面、面面的位置关系，另一方面以多面体、棱柱、棱锥为载体，判断与证明几何体内线面的平行与垂直关系．“大题规范解答——得全分”系列之(六)[典例](2012山东高考·满分12分)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.[动漫演示更形象，见配套光盘]空间位置关系证明的答题模板[教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息观察条件―→△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD――――――→取BD中点O连接EO，OCCO⊥BD――――――→EC∩C