平面解析几何初步总结资料

本章优化总结知识体系网络知识体系网络知识体系网络高考热点探究1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围0°≤α180°，熟记斜率公式k＝，该公式与两点顺序无关．已知两点坐标(x1≠x2)，根据该公式可以求出经过两点的直线斜率，当x1＝x2，y1≠y2时，直线斜率不存在，此时直线倾斜角为90°.直线的倾斜角与斜率热点一y2－y1x2－x1高考热点探究2．在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tanα的增区间[0，)，当α取值在此区间内由0增大到(≠)时，k由0增大到＋∞；当α∈(，π)时，k也是关于α的单调递增函数，当α在此区间内由(≠)增大到π(≠π)时，k由－∞增大到0(≠0)．当然，解决此类题时，也可利用数形结合思想，借助图形，直观地作出判断π2π2π2π2π2高考热点探究例1已知直线l过点P(－1,2)且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．【思路点拨】直线l绕点P旋转，观察斜率变化．高考热点探究【解】法一：如图所示，直线PA的斜率kPA＝2－(－3)－1－(－2)＝5，直线PB的斜率kPB＝0－23－(－1)＝－12.高考热点探究当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它的斜率变化范围是[5，＋∞)；当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜率的变化范围是(－∞，－]．∴直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[5，＋∞)．1212高考热点探究法二：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.∵A、B两点在直线的两侧或其中一点的直线l上，∴(－2k＋3＋k＋2)(3k－0＋k＋2)≤0，即(k－5)(4k＋2)≥0，∴k≥5或k≤－.即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－]∪[5，＋∞)．1212高考热点探究【点评】法一运用了数形结合思想．当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y＝tanα的单调性求k的范围，数形结合是解析几何中的重要方法．解题时，借助图形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快捷解题的目的．法二则巧妙利用了不等式所表示的平面区域的性质使问题得以解决．高考热点探究1．两直线的位置关系在高考题中出现频繁，且多在填空题中进行考查．在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系．另外，解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题．直线的位置关系热点二高考热点探究2．若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)．直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)．l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0，l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0(或B1C2－B2C1＝0)．高考热点探究注意：用直线方程的“系数关系”来判断直线的位置关系，包含了其中所有可能的情况，避免了讨论斜率是否存在的情况，在解决问题时比较方便，应学会应用．高考热点探究例2求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．【思路点拨】由平面几何知识可知，若l1、l2关于直线l对称，它们必须满足条件：若点A在直线l1上，那么点A关于l的对称点必在l2上，反之亦成立．高考热点探究【解】法一：设点A(x，y)是直线l2上任意一点，它关于l的对称点为A′(x0，y0)，则y－y0x－x0＝43，3×x＋x02＋4×y＋y02－1＝0，解得x0＝7x－24y＋625，y0＝－24x－7y＋825.高考热点探究∵点A′(x0，y0)在直线l1：2x＋y－4＝0上，∴2·＋－4＝0.化简，得2x＋11y＋16＝0.7x－24y＋625－24x－7y＋825高考热点探究法二：特殊点法由可解得l1与l的交点M(3，－2)．在l1上取一特殊点(2,0)，它关于直线l的对称点(x0，y0)应在所求直线l2上．由2x＋y－4＝0，3x＋4y－1＝0，3×2＋x02＋4×y02－1＝0，y0x0－2＝43，高考热点探究解得由两点式，得直线l2的方程为＝，即为2x＋11y＋16＝0.x0＝45，y0＝－85.y＋2－85＋2x－345－3高考热点探究【点评】常见的直线的对称有以下几种情况：直线l：Ax＋By＋C＝0，关于x轴的对称直线为Ax＋B(－y)＋C＝0；关于y轴的对称直线为A(－x)＋By＋C＝0；关于y＝x的对称直线为Bx＋Ay＋C＝0；关于直线y＝－x的对称直线为A(－y)＋B(－x)＋C＝0.高考热点探究如果已知条件中圆心的位置不能确定，可考虑选择圆的一般方程，圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法．设所求圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组，求出参数D、E、F的值即可．圆的方程热点三高考热点探究例3根据下列条件求圆的方程：(1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；(2)已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程；(3)已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4.3102高考热点探究【思路点拨】结合圆的几何性质或待定系数法解之．【解】(1)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：x2＋y2＝(x－1)2＋(y－1)2，即x＋y－1＝0.解方程组x＋y－1＝02x＋3y＋1＝0，得圆心C的坐标为(4，－3)．高考热点探究又圆的半径r＝OC＝5，所以所求圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25.高考热点探究(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①将P、Q点的坐标分别代入①得4D-2E+F=-20D-3E-F=10高考热点探究令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0.④由已知|y1－y2|＝4，其中y1、y2是方程④的两根，所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48，⑤解②、③、⑤组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12，或D＝－10，E＝－8，F＝4，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.3高考热点探究(3)法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10.由圆心在直线y＝2x上，得b＝2a，⑥由圆在直线x－y＝0上截得弦的长为4，将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，整理得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0.由弦长公式得＝4，化简得a－b＝±2，⑦解⑥⑦得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.22(a＋b)2－2(a2＋b2－10)2高考热点探究法二：根据图形的几何性质：半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形．由勾股定理，可得弦心距d＝r2－(422)2＝10－8＝2.∵弦心距等于圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离，∴d＝|a－b|2，∴|a－b|2＝2.⑧高考热点探究又已知b＝2a，⑨解⑧⑨得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4，∴可求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.高考热点探究【点评】求圆的方程有两类方法：(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：①根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；②利用条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．高考热点探究在解决直线与圆的位置关系的问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算，讨论直线与圆的位置关系时，一般不用Δ0，Δ＝0，Δ0，而用圆心到直线距离dr，d＝r，dr，分别确定相交、相切、相离的位置关系．涉及圆的切线时，要考虑过切点的半径与切线垂直，计算弦长时，要用半径、弦心距、半弦构成直角三角形．直线与圆的位置关系热点四高考热点探究例4已知圆C：x2＋y2－2x＋2y＋1＝0，与圆C相切的直线l交x轴、y轴的正方向于A、B两点，O为原点，OA＝a，OB＝b(a2，b2)．(1)求证：圆C与直线l相切的条件是(a－2)(b－2)＝2；(2)求线段AB中点的轨迹方程；(3)求△AOB面积的最小值．高考热点探究【思路点拨】(1)由截距式设出直线方程，再将圆的方程化为标准形式，利用圆心到直线的距离求证．(2)设出AB中点坐标代入(1)即可．(3)利用三角形面积公式结合(1)的结论可解．高考热点探究【解】(1)证明：由题意，知直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1.∵直线l与圆C相切，∴圆心C到直线l的距离等于1.即＝1.化简整理得(a－2)(b－2)＝2.xayb|a＋b－ab|a2＋b2高考热点探究(2)设AB的中点为M(x，y)，则a＝2x，b＝2y，代入(1)的结论得(2x－2)(2y－2)＝2，即(x－1)(y－1)＝(x1，y1)．(3)由(1)的结论及S△AOB＝ab，有S△AOB＝·[－2＋2(a＋b)]＝－1＋a＋b＝(a－2)＋(b－2)＋3≥2＋3＝2＋3，∴S△AOB的最小值为2＋3.121212(a－2)(b－2)22高考热点探究【点评】直线与圆的位置关系分为相交、相切、相离，牢记各种位置关系的条件和性质，判断它们的位置关系时可根据圆心到直线的距离与半径的关系，也可根据它们构成的方程组的实数解的个数进行判断．