DSP9-DFT深入理解-(3-频谱混叠-频谱泄露-频率分辨率)

深入理解DFT（3频谱混叠，频谱泄露）两个单频复正弦信号j41(n)enxπ=，582(n)jnxeπ=，共同做N=8点的DFT。出来确是两种情形。1(n)x与预期相同，在k=1处有单根谱线，但是2(n)x却有两根谱线。如图频谱泄露的定义：单频复正弦信号DFT不是如预想的一样只会出现一根谱线，而是在相邻的两个谱线上有较大的值，这样的现象叫做频谱泄露出发点1，从DFT信号与系统的角度分析从上节滤波器组的角度来看，造成频谱泄露的原因很清楚，主要是因为DFT所等效的N个滤波器组中，没有一个滤波器的中心频点和信号的频点一致，导致单频复正弦信号在滤波器的主瓣内幅度有所抑制，信号能量有一部分散落在滤波器的副瓣内。在DFT中，频谱泄露是正常的，因为只有当信号频率为：020,1,2wmmNπ==这有限的N个取值时，信号的频率才可能落在某个滤波器的中心频点上，此时不会发生频谱泄露。对于其他任意频率，都存在不同程度的频谱泄露，最严重的情况是落在相邻两个滤波器的中心频率中间如上图582(n)jnxeπ=，此时相邻的两根幅度比较大的谱线相等，与不泄露情况相比，幅度下降超过一半。出发点2，从数据截短，频率混叠的角度（1）什么是频率的混叠失真？频率的混叠失真由三个原因组成：1、若抽样频率不满足抽样定理，即2shff=则频域周期延拓分量会在0.5sff=(wπ=)处产生频谱混叠失真。如下图这种混叠现象是由信号的高频分量与延拓信号的低频分量的交叠而形成，其影响更为严重。2.一般来说，由于时域的突变也会造成频域的拖尾现象，如矩形信号，因而总会产生轻微的混叠失真。3另外，信号中的高频噪声干扰，也可能造成频域混叠。下面主要考虑由频谱泄露造成的频谱的混叠失真。综合考虑这种因素影响后，选取sf时，应使/2ffs=的范围内包含98%以上的信号能量，在fs=(3~6)fh的范围内选取fs。再有在抽样之前采用截止频率为/2fs的限带低通滤波器，即抗混叠滤波器。抗混叠滤波器f=fs/2经处理后信号信号（2）从截断的角度谈频谱泄露这就是时域截断后为有限长序列时的截断效应（因为DFT是基于有限长序列的）设模拟信号()xt，抽样后得到序列()()|xnxttnT==如同将其截断为一个N点长的序列()Nxn，这相当于()xn乘上一个N点长的窗函数()Nwn()()()NNxnxnwn=如果考虑矩形截断情况，即：()()()NNxnxnRn=则有()()()12jwjwjwNNXeXeWeπ=这里矩形窗的频谱为：()()()11jwNjwNNjweWeDTFTRne−==−如图：这个窗函数函数为N=5的矩形窗。主瓣宽度为4Nπ。如果窗长N=无穷长，那么这样的窗也没有意义，相当于没有加窗。如果信号为余弦信号，其抽样序列为无限时长,()()0cosxnwn=,频谱和加窗后的频谱分别为下图将加窗之前和加窗之后()()0cosxnwn=的频谱进行比较。1.首先是产生了频谱泄露，使原来的谱线展宽了，同时降低了频率分辨率（下一段会对频率分辨率给出经典解释），截断的时间序列越长，即N越大，则4Nπ越小。这种展宽称为频谱泄露，频谱泄露会使频率分辨率降低，也就是说，两个频率离的很近时，由于频谱会产生泄露，会使得无法分辨出这两个信号。例如原来两个频率分量12,ww处是两根谱线。矩形窗频谱的主瓣宽度为4Nπ，此矩形窗的长度就决定了对相邻两个频率的分辨能力。为此常将矩形窗宽度一半定义为频率分辨率2wNπ∆=。如果有212wwNπ−，那么频域卷积后，两个频谱将分不出来了。如下图：相比于上图，这个对于w1和w2已经区分不出来，因为这里w1和w2处都不会达到峰值。由此可以看出。频率分辨率是由加的窗决定的，即窗长N决定的，窗长N也就是有效数据的长度从DFT的滤波器组的角度看：也是这样的，他分辨不出来w1,w2到底是属于0，还是2*pi/N所以从频率分辨率的方面我们发现了DFT窗函数和DFT信号与系统的一致性。所以，我们得到以下，结论：从出发点1，从DFT信号与系统的角度分析及出发点2，从数据截短，频率混叠的角度。我们发现，时时域的加窗即截短是造成频谱泄露的核心问题，造成了频率分辨率的下降，同时窗函数影响了整体截短后频谱的性能。所以，抑制频谱泄露要从以下窗函数的核心特征来出发：主瓣宽度，副瓣幅度。（1）采用缓变形的窗函数,例如用海明窗，使窗的旁瓣幅度更小。（2）加大窗宽，即有效观察时间T（fs/N）综上所述：在对周期信号信号进行加窗时，要保留整周期的周期信号。从加窗直观上来讲，根据DFT的隐含周期性，x(n)与X(K)都是周期的。所以x(n)取整周期，周期延拓后，还是正好是正周期，没有引入新的频率分量。从出发点1，从DFT信号与系统的角度分析来看，正好能够满足中心频点在k*2*pi/N上。显然对于()582jnxneπ=，所以0258fwfsππ==,得出5T=16Ts所以，周期为16，之前N=8明显是不合适的。