第十讲_唯一决定分式线性映射的条件

第十讲唯一决定分式线性映射的条件1.分式线性映射的存在唯一性2.举例§3唯一决定分式线性映射的条件.,,,,有三个是独立的实际只四个常数含有虽然dcbadczbazw:,,,我们有线性映射就能决定一个分式只需给定三个条件所以)3,2,1(::)(,,,,,321321kwzfzf分式线性映射的存在唯一性)3,2,1(),3,2,1()3,2,1(),0(kdczbazwkwkzbcaddczbazwkkkkk即依次将设证明)2,1(,))(())((kdczdczbcadzzwwkkk因而有)()())(())(())(())((1221221121dczdczzzzzbcadzzdczdczdczdczbcadzz)2,1(,))(())((333kdczdczbcadzzwwkkk)1(132321132321zzzzzzzz同理)()(12dczdcz①式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。.1,,0,,321)1(321等式两边依次同时变为由且，，点点②).(,,,)1(321ratiocross的交比个点左端的式子通常称为四式③~~~~~~~~~~~~所求分式线性映射因此，式(1)说明分式线性映射具有保交比不变性。'.,'CCFCCF将必存在分式线性映射点以后上分别取定三个不同和在已知圆周由分式线性映射的存在唯一性定理知：以下讨论这个映射会把C的内部映射成什么？中的另一个和是的象而中的一个必然是的象定则可以断外部平面分为内部把它的象，外部为内部为平面划分为两个区域将212221112121)(,,)(,,',:DDdFdDDdFdDDwCddzC(不可能把d1的部分映入D1，d1的另一部分映入D2).,'',),,(,,211221212121121CQCwwDwD交于一点必与弧且或直线段圆弧若线段设⌒⌒.)21被映射为同一点上zz事实上，1d2dF1DC'C2D2z1z2w1wQ!一对应性相矛盾这与分式线性映射的一另一在线段上一个在圆周就有两个不同的点象上某一点的又是由假设上某点的象它一定是,(,,21CzzQC')(),(),(,,,)2(332211321CzFwzFwzFwCzzz则.)(,;)(,)1(212001110010DdDzFwDdDzFwdzFF若否则若由以上讨论给出确定对应区域的两个方法：),(,,2111321'321在观察者左方的区域沿曲线方向绕行时反之那么绕向相同时的依的绕向与依若DdDd1d2dC2D1D'CF事实上;,)(,,,,1113211DdzzF应在观察者的左方也看顺着的保角性由于在,,1111于是的一段法线作过dzzzzCz)(',)(,,111321或者直线段正交的一段圆弧并与是过象在观察者的左方看顺着CwzzFzzzzz21DdF反之2z1z3zz2w1w3ww.,)(角形区域圆周的弧所围成区域这二点时当二圆周交点中的一个ⅢFF;,)(直线所围成的区域一圆弧与一圆周的弧所围成的区域这二点时射成当二圆周上有一个点映ⅡF;,)(区域二圆弧所围成的圆周的弧所围成的区域这二成无穷远点时当二圆周上没有点映射ⅠF由上一节和本节的讨论，还有以下结论：.,,,,,,要的作用重分式线性映射起着十分的共形映射问题时直线段所组成的区域直线圆弧由圆周边界在处理性与保对称性分式线性映射具有保圆~~~~~~~~~~~~~~.,,,,,,实轴必将实轴故也为实数均为实数时当wdczbazwdcbakkk.0)Im(0)Im(的分式线性映射求将wz例1解2.举例,),3,2,1(,即实轴上的点设kRzdczbazwk,,)0(0)('2实轴变成实轴是同向的即时为实数且当又bcadzdczbcadw.,平面上半平面上半因此wz0)Im(0)Im(,0,,,,wzdczbazwbcaddcba将分式映射线性且均为实数时即，当uv(w)2w1w3w2z1z3zxy(z)0)Im(0)Im(zz也将①具有这一形式的映射平面下半平面上半将为实数其中②wzwzbcaddcbadczbazw0)Im(0)Im(0,,,,,.,:132321132321321321即得代入相异的对应点zzzzzzzz可在实轴上取三对的映射③求,0)Im(0)Im(wz.0))2('arg(,0)2(,10)Im(的分式线性映射且满足条件的分式线性映射映射成单位圆平面求将上半iwiwwzz例2解.1,,,w单位圆它必将上半平面映射具有保圆性分式线性的边界圆周那么实轴就相当于圆域的圆域是半径为若我们把上半平面看成wzzwRwwz由保对称性对称关于实轴与又实轴的圆心，即,,101uvo(w)xy(z)o)()(为常数kzzkw1,1,1}1{kwzz又为任意实数设iek:,一般形式为所求分式线性映射因此)2()0)(Im()(zzewi10)Im()2(,wz映射必将式的分式线性形如反之izizeizizewiiwii22222)2(0)2(,即式中取在由条件进一步iieiiwiziew4)2(',)2(4'2)4arg(arg)2('argieiwiiziziw22,20)2(从而有).(,1,)1(203解法二见线性映射由交比形式可求得分式上依次取三点在轴上任意取定三点本题可在Pwx.,10)Im(,)2(且无穷多映射不唯一的的任意性由于wz例3.11的分式线性映射求将wz01}1{wwzz的中心设解wz11的对称点关于由保对称性)10(的对称点是关于与zzkzzkzzkw1'11uv(w)1xy(z)11)'(kk其中111'11,111wkzwzwz代入上式得将故实常数取又,',1'11iekk的线性分式映射为11wz)3()1(1zzewi0)(',)(0)Im(00iwwiwRwwz变换使满足条件的分式线性求将例4解)4(0Rww令)5(210)Im(izizezi有，由例再将0izuvo(w)xy(z)o)(,1000R)7(Re)6)(5()6()4(00izizwwRwwi有复合有由先求得再由0)('iw)(22221Re)('21Re)(ReiiiiziizeRiiwiizizizdzdw即iei2020wizizRiw故?,2,11什么区域下映成在映射圆弧所围区域的二半径为与中心分别在izizwzz例5解wizwizii0,,交点且互相正交与两圆弧的交点为.2角形区域的为顶点张角为映射后的区域是以原点22)21()21(121iwCz取)(第三象限的点第二象限的分角线由保角性'22CC第三象限的分角线'11CCxy(z)1-1i-i2c1c12oizizw'2c'1cuv(w)o作业•P24615(1)(2),16(1)(2)