第六章_指派问题

第六章指派问题组合优化理论CombinatorialOptimizationTheory指派问题（AssignmentProblem,AP）是一种特殊的线性规划问题，也属于0-1整数规划问题.在图论中称为最佳匹配问题（OptimalMatching）.问题描述：有n项任务需要去完成，恰好有n个人可以去完成这n项任务，而每个人完成各项任务的效率是不同的，如果要求每人完成其中一项，且每项任务只交给其中一人去完成，应如何分配，使总的效率最高.第六章指派问题§1最大基数匹配问题§2指派问题§3指派问题的应用§4瓶颈分配问题第六章指派问题§1最大基数匹配问题人员工作分配问题：某公司有工作人员x1,x2,…,xn,他们去做n项工作y1,y2,…,yn，每人会做其中的一项或几项，要求每人至多做一项，每项工作至多由一人来做，问能否每人都分配到一项会做的工作？x3x1x2y2y1y3如果不那么最多几人有会做的工作可做？且如何安排？可用图和矩阵给出它的数学模型及求解方法.§1最大基数匹配问题Definition4.1设图G=(V，E)GraphVertexEdge1、如果，且对，与无公共顶点，则称边子集M是G的一个匹配；ME,ijeeMieje2、M中的每条边的两个顶点称为关于M是饱和的，否则称为非饱和的；3、G中每个顶点都关于M是饱和的，则称M是G的一个完备匹配；4、如果M是一匹配，而不存在其他匹配M1，使得5、如果M是一匹配，而对不是G的匹配，则称M是G的一个极大匹配.,jjeGMeNote:最大匹配与极大匹配的边数是不同的x3x1x2y2y1y31MM，则称M是G的最大（基数）匹配；第六章指派问题6、如果G的顶点V可分成两个满足如下条件的子集X，Y：,;XYVXY②对，则与ej关联的两个顶点分属XY，jeE称G=(X,Y,E)为二部图或偶图.x3x1x2y2y1y3x4x5y4y5①人员工作分配问题就是在二部图中寻找最大匹配.§1最大基数匹配问题x3x1x2y2y1y3x4x5y4y5该问题也可用矩阵表示10ija如果xi会做yj否则12345()ijxxaxxx12345yyyyy1111111111000000000000000在矩阵中寻找什么？寻找最多的不同行不同列的1元素.(二部图G的邻接矩阵)称为独立元（素）第六章指派问题123451100001100()010010010000111ijxxaxxx12345yyyyy如何寻找？礼让原则从每行、每列中，1最少的行或列先取，一样多时随意.×××××遗憾的是这是错的100100010001001010100001010001001110××××××××1010101001010100101010111ק1最大基数匹配问题1965年匈牙利著名数学家Edmonds为之设计了命名为“匈牙利算法”的有效算法，计算复杂性为O(n).E就二部图的邻接矩阵，先给出几个概念：在第i行第j列上的①（1被加圈）表示xi(或yj)已被分配，或该行（或列）已被分配；此时，由于所在行和列的1元素不能再取，用1表示;×不同行不同列的①，称为A的一个分配，用M表示;第六章指派问题123451100001100010010010000111xxxxx12345yyyyy×××设M为已知分配，xi未被分配，而该行没有1，则xi不能被分配；若有1，选择一个1(aij),如果第j列没有加圈1，则对该1加圈，得到一新的分配M′,有，'1MM如果有加圈1（ai1j），则对aij,ai1j打√,√√√且划去第j列，再看第i1行有否没有被划去的1，没有，结束；有，再重复上述过程，直至不能继续为止.这时所得序列，称为关于M的交互链.如果在交互链中，最后得到的是无圈1，则称该交互链为可增广链.把可增广链中的加圈1与没圈的1，互换标记，得到一新的分配M′,有.'1MM上述过程称之为增广过程.交互链、可增广链可在图G中描述§1最大基数匹配问题Theorem4.1(Berge,1957)M是A的最大分配的充要条件是不存在可增广链.匈牙利算法：Step1任给一初始分配M，设S为未被M分配的行集合；Step2如果，则此时已得到最大分配，SEnd否则，取；ixSStep3寻找xi出发的可增广链，如果存在，则进行增广；且令iSSxGotoStep2;否则xi不能被分配，令iSSxGotoStep2;对图G的最大匹配，结论也成立proof100100010001001010100001010001001110Theorem4.1的证明Proof:必要性：若M是A的最大分配，显然A中无关于M的可增广链，不然M还可以增广成独立元更多的分配，与M是最大分配相违；充分性：反证，若M不是最大分配，则存在分配M1,1.MM作211MMMMM由于M2是由M，M1中非公共部分组成，而M,M1都是分配，所以从M2的任一1出发，按交互链得到方法，得到的链必是M,M1中的1交替出现.√√√√√√√由于，所以在所有的交互链中，必有一条链属于M1的1多于属于M的1，且以M1的1出发、结束，这是关于M的可增广链.与条件矛盾.1MM证毕√√√√第六章指派问题123451100001100010010010000111xxxxx12345yyyyyExample1求G的最大匹配，G的邻接矩阵如右所示：√Solution:不妨设初始匹配1122345,,,,MxyxySxxx取x3，从x3y2出发，√√√得一增广链：322223,,xyxyxy增广得：11233245,,,,MxyxyxySxx√√√√√取x4，得一增广链：4323223235,,,,xyxyxyxyxy增广得：112235435,,,,MxyxyxyxySx取x5，从x5y3出发，√得一交互链，但不是增广链.从x5y4出发，因y4未被分配，所以对x5y4加圈，得：1122354354,,,,,.MxyxyxyxyxyS所以，M是最大匹配，且是完备匹配.§2指派问题在第一节的人员工作安排问题中，分配工作时，只考虑人员有工作做.但事实上，由于工作的性质和个人的特长不同，在完成不同的任务时，其效益是不同的（成本、时间、利润、费用etc.）.§2指派问题设有n个人员去完成n项任务，第i人完成第j项任务的效益为，要求每人完成且仅完成一项，问如何分配，使完成n项任务的总效益最佳.0ijc可以是max、min先考察min称C=(cij)n×n为效益矩阵.第六章指派问题Example2任务人员EJGRA215134B1041415C9141613D78119有一份中文说明书需要译成英、日、德、俄四种语言，分别记为E、J、G、R.现有A、B、C、D四人，他们将中文翻译成不同语言所需时间如表,问应分配何人去完成何任务（一人完成一项任务），使所需总时间最少？Solution:10ijx当分配第i人完成第j项任务否则,1,2,,ijn设2151341041415914161378119C11minnnijijijzcx111,2,...,nijixjn111,2,...,nijjxin01,1,2,...,ijxorijns.t.§2指派问题显然，这是一个0-1规划问题，任务人员EJGRA215134B1041415C9141613D78119任务人员EJGRaiA2151341B10414151C91416131D781191bj1111也是一个特殊的运输问题.所以,分配问题可用解IP问题方法（如：分支定界法),或解运输问题的表上作业法.但是，1、IP是NP-C问题；2、有基变量2n-1个，而有n-1个为零，高度退化.1955年，Kuhn-Munkras提出了解AP的算法，将求AP转化为求完备匹配问题，其计算复杂性为O(n3).由于算法引用了匈牙利数学家König的结论,所以，该算法也称为匈牙利算法.第六章指派问题Theorem4.2(König,1931)Definition4.2图G=(V，E)，一个顶点在C中，称C为G的一个点（对边的）覆盖.,CV点集若G中每条边至少有点数最少的点覆盖C称为G的最小点覆盖.二部图G=(X，Y，E)，M为最大匹配，C为最小点覆盖，则有.MC监测点的设置等是最小点覆盖的应用.点覆盖在二部图G的邻接矩阵上如何表示？Proof1011010100010101x3x1x2y2y1y3x4y4Theorem4.2的证明Proof:显然，若，MX.XMC则若，MX设X1为在M中没有独立元的行的集合.1001100111100001如右12Xx令Z是X1中行出发的关于M的交互链上的所有点，如右21144,,,,Zxyxyx记,SZXTZY则()NST表示S中的行的所有1对应的列取()BXST则B是A的一个覆盖，如果不是，则有1元素行在S列在Y-T中，这与矛盾.()NST而，MB.MC显然所以B是最小覆盖.证毕§2指派问题显然，Ex.2的可行解可用一个0-1矩阵表示.10000001()01000010ijx表示：,,,.AEBRCJDG因此，求解指派问题可在效益矩阵上进行.Theorem4.3如果从效益矩阵(cij)的第i行中每个元素减去a和第j列中每个元素加上b，得到一个新的效益矩阵.ijc则以为新的目标函数与原目标函数的指派问题最优解相同.ijcijijzcx11nnijijijijjicxaxbxijijcxabzab第六章指派问题匈牙利算法：Step12151341041415914161378119C使效益矩阵各行各列出现零元素；具体：从效益矩阵的每行各元素减去该行最小元素；再从所得矩阵的每列各元素减去该列最小元素.249701311260101105740142013706069053201000042称各行各列所减的数值之总和为缩减量，记为S.S=2+4+9+7+4+2=28§2指派问题Step2试寻求最优解；用上节的求最大匹配的算法.013706069053201002151341041415914161378119C这时得到最大匹配M.如果，则已得到最优解；Mn00010100()10000010ijx即,,,.ARBJCEDG'min0zminz14223143cccc28=S每行每列有零元素，能保证有n个独立零元素吗？0000012108730159如果，则gotostep3；Mn第六章指派问题Step3作缩减后的效益矩阵的最小覆盖；具体：a、对没有0的行打√；b、对已打√的行中所有含0元素的列打√；c、对打√的列上有0的行打√；d、重复b、c，直到得不出新的打√的行列为止；e、对打√的列画纵线，没打√行画横线.这就得到最小覆盖.2109715414813141611415139C2411408751101042350011950825110542300011450050§2指派问题Example3求效益矩阵为C的最小指派.Solution:√√√缩减量S