第七章 各向同性均匀湍流

第7章各向同性均匀湍流7.1定义如果一个湍流场的任意n阶相关张量独立于ix，即0),(),(111nnnittxxx，(7-1-1)则这个场在ix方向是统计均匀的，或简称是均匀的。均匀性的必要条件是平均空间速度梯度为常数constjixu。(7-1-2)各向同性要求平均速度场为零，0u。(7-1-3)当湍流是各项同性的，雷诺应力张量只有对角线上的元素是非零的，即ijjiKuu32''。(7-1-4)式中K是湍动能。7.2均匀湍流场的相关张量和谱张量的性质第5章我们定义了湍流的相关张量和谱张量，2阶相关张量和谱张量在研究中应用较多，它们在均匀湍流场中具有如下性质：1)两点速度相关张量具有反对称性)()'()'()()()(,,ξxξxξxxξijjijijiRuuuuR(7-2-1)2)一点自相关函数总是大于等于两点自相关函数)0()(iiiiRRξ(7-2-2)对一般2阶互相关)()()(ξxxξjiijuuR应用Schwartz不等式，有2/12/122/12)0()0(()()()()(jjiijijiijRRuuuuRξxxξxxξ式中重复下标不求和。令i=j即得(7-2-2)。表明均匀湍流场自相关函数的最大值一定在ξ=0处。3)在不可压缩均匀湍流场中，2阶两点速度相关满足以下等式0/)()(/)(,jjijjiuuRξxxξ，(7-2-3)0/)()(/)(,ijiijiuuRξxxξ。(7-2-4)2阶两点速度相关的导数可写作（注意：位置向量x和相关距离向量ξ是两个独立的自变量)：pjipjipjipjixuuuuuuR')'()()()()()(,xxξxxξxx和pijpijpjipjixuuuuuuR')'()()()()()(,xxξxxxξx因为有不可压缩流体的连续性方程：0/)(jjxxu，在上面第1式中令p=j，在第2式中令p=i,于是(7-2-3)和(7-2-4)得证。导出以上公式和后面一些公式时，常常用到以下导数公式：/)(/)(/)(fyyxfxyxf，/)(/)(/)(fyyxfxyxf，式中ξ=x+y,η=x-y。4)不可压缩流体的连续性方程在谱空间的表达形式0)(kijiSk和0)(kijjSk。(7-2-5)对散度方程进行傅里叶变换，即得谱空间的连续性方程0),(ˆtkuk。(7-2-6)其张量形式为0),(ˆtukiik。(7-2-7)上述两式说明),(ˆtku在垂直于k的平面，我们称这个谱空间的平面为平面。用),(ˆtujk乘与上式，并取平均，由于谱张量也可以看作在谱空间的速度相关，得0),(),(ˆ),(ˆtSktutukijijiikkk(7-2-8)5)2阶速度谱张量是Hermit张量，即它们是正定的2阶张量。对(7-2-1)作傅里叶变换，有ξξkξξξkξ3,3,)exp()()exp()(diRdiRijji，等式右边可进一步简化为*,,)exp()()exp()(ηηkηξξkξdiRdiRijij所以，2阶速度谱张量是复函数，它有以下性质),(),(*tStSjiijkk(7-2-9)上式中的上标*号表示复共轭，即2阶速度谱张量等于它的转置张量的复共轭。设)(),(),(332211kkkSSS是谱张量)(kijS三个主轴方向的谱，它们分别是主轴方向速度分量的动能谱，是恒大于零的实数，从而，0)()()()(33*3322*2211*11*kkkkSXXSXXSXXSXXijji(7-2-10)(7-2-9)和(7-2-10)一起说明2阶速度谱张量是Hermit张量，即)(kijS是正定的2阶张量。7.3各向同性湍流场的相关张量和谱张量7.3.1张量不变量的概念各向同性湍流场的相关张量和谱张量与坐标轴的平移和刚性旋转无关，它们的这种性质就是张量的坐标不变性。张量在一个坐标系下可以用一些张量分量的集合来表示，我们在这里采用张量的直角坐标表达式。对于不同的坐标系，张量的各个分量随坐标系的不同而变化，即分量不具坐标不变性，但张量本身是确定不变的，或者说张量具有一组与坐标系无关的标量不变量。根据张量变换法则，这些不变量可以从对成对的下标分量的求和、收缩来得到。从物理学的角度来看，一阶张量(向量)的独立不变量只有它的长度。2阶张量在n维空间有n个独立不变量。7.3.2张量函数的一般表达式设任意阶张量是其他一些各阶张量的函数：),,,(ijijijibxafA，(7-3-1)自变量中既有标量a(0阶张量)、又有向量ix(1阶张量)和张量ijb等。我们需要确定满足坐标不变性的这一张量函数应是哪一类函数，或其函数结构。我们可以从张量不变量原理：“张量函数的不变量只能是其他不变量的函数”出发来构造张量不变量。最常用的方法是引入一些向量标乘(7-3-1)两边，使(7-3-1)的左边成为不变量，这样做，像简单对左边的下标对求和那样，我们并不损失任何信息，反而我们还可以处理奇数阶的张量。),,,,,,,,,,(IIIIIICBbxxCxBxCCCBBBfCBAjiijiiiiiiiiiiiijiji，(7-3-2)其中Ⅰ,Ⅱ,III是张量ijb的三个主不变量。根据张量不变原理，(7-3-2)的右边必然只是不变量的函数，这些不变量由ijiibyx,,和iiCB,等构成。我们还要利用第二个重要原理：如果左边jiCB是多重线性的，则右边也应是多重线性的。这样我们就可以排除iiBB等高次幂函数，iiCB必然出现为线性乘子。也就是说，函数式中只能包含n个向量的线性积。所以(7-3-2)成为),,,,,,,(IIIIIICBbxxCxBxfCBAjiijiiiiiijiji。(7-3-3)7.3.3标量的张量函数只有偶数阶的张量才能是标量的函数；奇数阶张量不可能是标量的函数，除非等于零。对于偶数n阶张量，向量的多重线性积可以1)3)(1(nn种方式构造出来：第一个向量可与其余n-1个任意向量配对，下一个未配对的向量能与其余n-3个向量中的任意一个配对，并类推下去。以4阶张量为例，jjiijjiijjiiqpjiijpqDCEBahECDBagEDCBafEDCBA)()()((7-3-4)这里)(),(),(ahagaf是标量a的函数。如果在(7-3-4)的右边在协变矢量上提高下标，得到4阶张量的标量函数的一般形式jpiqjqippqijijpqahagafA)()()(。(7-3-5)对于2阶张量，应有ijjiiijiijCBafCBafCBA)()(，(7-3-6)于是有ijijafA)(，(7-3-7)就是说2阶张量的标量函数必是2阶各向同性张量。7.3.4向量的张量函数一个向量的标量函数必然只是这个向量的不变量的函数。首先考虑一个向量ix的向量函数)(iiixfA。用任意一个向量iB构成不变量),(iiiiiiBxxxfBA，(7-3-8)等式右边必须是任意向量的线性函数，它的唯一形式是：iiiiiiBxxxfBA)(。所以iiiixxxfA)(。(7-3-9)上式表明，如果一个向量是另一个向量的函数，则两个向量必共线。再考察2阶张量函数)(kiixA，由(7-3-3)，有),,,(iiiiiiiijiijCBCxBxxxfCBA(7-3-10)上式右端必须是关于iiCB和的双线性的，ijjiiijijiiiiiiijijiiijiijCBxxgCBxxxxfCBxxgCBxxxxfCBA)()()()(所以ijiijiiiijxxgxxxxfA)()(。(7-3-11)用同样的方法，还可导出3阶张量的向量函数的一般表达式ijkiiikjiijkiiikjiiiijkxxxpxxxhxxxgxxxxxfA)()()()(。(7-3-12)在轴对称湍流场往往要引入是两个向量自变量的2阶张量函数，其函数表达式为ijjijijijiijqxpyyhxygyxfxA。(7-3-13)式中f、g、h、p和q都是jiiiiiyxyyxx和,的函数。在具有球对称的、而没有镜像对称的湍流中，张量A的一般形式中包括由额外的对反射改变符号的基本不变量kjiijkrba。张量的一般形式也要进行相应的调整。1阶张量函数的形式(7-3-9)不变，2阶张量的一般形式可以直接写作kijkiiijiijiiiijrxxCxxgxxxxfA)()()((7-3-14)7.4各向同性湍流的相关张量函数及其性质根据各向同性湍流场的定义，各向同性湍流场中n阶相关的表达式必为),,,(1212121niiiiiinnRRξξξ。称iξ为相关向量。应用张量函数表达式，可以导出各向同性湍流场的各阶相关函数张量的表达式。7.4.1各向同性湍流场中两点2阶速度相关函数各向同性湍流场中两点2阶速度相关函数是)()()(ξξxxijjiijRuuR，利用张量函数表达式，其必有以下的函数式ijiijiiiijgfR)()()(ξ。(7-4-1)式(7-4-1)表明，各向同性湍流场中2阶速度相关函数只有两个独立函数。通常，选定两个特定几何构形的相关：纵向相关和横向相关。它们的定义为定义1：沿相对向量方向的脉动速度分量的2阶相关称作两点纵向相关）（ξllR。定义2：垂直于相对向量方向脉动速度分量的2阶相关称作两点横向相关）（ξnnR。由(7-4-1)，有)()(),()(2ξξξξξξgRgfRnnll）（。可以解出2/))()(()(ξξξξnnllRRf和）（ξξnnRg)(，它们分别称为纵向相关系数和横向相关系数。可以再用它们表示各向同性湍流的2阶速度相关函数，ijnnjinnllijRRRR)(/)()()(2ξξξξ。(7-4-2)7.4.2各向同性湍流场中两点速度3阶相关函数空间两点的速度3阶相关函数的一般形式是)()()(,ξxxxkjikijuuuR，它是3阶张量，在各向同性湍流场中，它只是ξ的函数。应用(7-3-7)，可将其表示为ijkiiikjiijkiiikjiiikijphgfR)()()()()(,ξ。(7-4-3)由于两点3阶相关函数中的第1和第2相关速度在同一点，因此3阶相关函数对下标i，j是可交换的，所以(7-4-3)可简化为ijkiiikjjkiiikjiiikijhgfR)())(()()(,ξ。(7-4-4)上式表明各向同性湍流场中两点3阶速度相关函数只有三个独立函数。通常，选定三个特定几何构形的相关：3阶纵向相关、3阶横横纵相关和3阶横纵横相关将典型的两点3阶速度相关代入(7-4-4)，得3阶纵向速度相关：))()(2)(()()()()(2,hgfuuuRllllllξxxxξ，(7-4-5a)3阶横横纵速度相关：)()()()()(,huuuRnnnlnnξxxxξ，(7-4-5b)3阶横纵横速度相关：)()()()()(,guuuRnlnnnlξxxxξ。(7-4-5c)7.4.3旋转系统中均匀湍流的两点速度相关张量在无界旋转系统中的湍流场仍然可能是均匀的，但是由于旋转系统中的科氏惯性力，湍流场不再保持各向同性。这时脉动速度场和转动角速度Ω有关，2阶速度相关函数将是两点相对向量ξ和角速度Ω的函数，并可写作),(),(),(ΩξΩξxΩxijjiijRuuR。利用(7-3-5)，可以写出旋转坐标系中的2阶相关张量函数表达式jiiiiijiiiii