10_随机信号的相关函数估计与功率谱密度函数估计

2020/2/21大连理工大学12020/2/21大连理工大学1第10章随机信号的相关函数估计与功率谱密度函数估计大连理工大学硕士研究生校管课程信号处理与数据分析电子信息与电气工程学部邱天爽2015年11月2020/2/21大连理工大学2内容概要•§10.1引言•§10.2相关函数与功率谱密度函数•§10.3自相关序列的估计•§10.4功率谱估计的经典方法•§10.5功率谱估计的现代方法•§10.6信号的倒谱分析•§10.7谱估计方法在信号分析中的应用2020/2/21大连理工大学3§10.1引言2020/2/21大连理工大学4•相关函数的概念–相关函数是两个确定性信号或随机信号之间相似性的一种度量。–互相关函数：两个信号是两个不同的信号；–自相关函数：两个信号是同一个信号；2020/2/21大连理工大学5•功率谱密度函数的概念–功率谱密度（powerspectraldensity，PSD）函数是相关函数的傅里叶变换，是具有有限平均功率信号的频谱分量在单位带宽上的功率表示，是随机信号特性在频域的表示。–自功率谱密度（auto-PSD）函数：自相关函数的傅里叶变换；–互功率谱密度（cross-PSD）函数：互相关函数的傅立叶变换。2020/2/21大连理工大学6•本章介绍内容：–简要介绍相关函数和功率谱密度函数基本概念；–系统介绍相关函数与功率谱密度函数的估计方法；–以周期图为核心的功率谱经典估计方法及其改进方法；–以参数模型法为主的现代谱估计方法，包括AR、MA和ARMA参数模型法，最大熵谱估计方法，最小方差谱估计方法，皮萨伦科谱分解方法和基于自相关阵特征分解的方法等，并给出了多种谱估计方法的比较。–介绍倒谱分析及其应用，介绍谱估计的应用。2020/2/21大连理工大学710.1.1信号参数估计问题的基本任务•信号参数估计：–是根据从总体中抽取的样本来估计总体分布中包含的未知参数的方法。–任务是利用有限数据从带噪信号中估计出信号的某个或某些参数。12211ˆ1ˆ[()]NxiiNxiimxNxExN2020/2/21大连理工大学8•从带噪声的观测数据中估计信号参数的流程图：估计算法判据ˆ()xsnˆ代价最小2020/2/21大连理工大学910.1.2参数估计的评价准则•（1）估计的无偏性–估计的偏差（deviation），又称为估计的偏，是指估计值与其真值或均值之差，可以用来衡量估计结果的精度。–无偏估计：或–渐进无偏估计：或ˆˆ[]Eˆ[]Eˆˆlim()lim[]0NNbEˆ[][]EEˆˆlim()lim[][]0NNbEE2020/2/21大连理工大学10•估计的方差–估计的方差（variance）用来度量估计值与其数学期望之间的分散程度。即：–估计的方差越小，表示参数的估计值越集中在其真值或均值附近，即估计的分散性越小。•估计的均方误差–只有采用估计的均方误差，才能较全面地反映估计的质量。估计的均方误差是估计偏差的平方与估计方差之和。ˆˆ[]E22ˆˆˆˆVar[][([])]EE222ˆˆˆ[([])]()EEb2020/2/21大连理工大学11•估计的有效性–如果要比较同一参数的两个无偏估计的优劣，在样本容量相同的情况下，需要看哪一个无偏估计的方差更小。若满足则称为参数的有效估计，或称估计比估计更有效。12ˆˆVar[]Var[]1ˆ1ˆ2ˆ2020/2/21大连理工大学12•估计的一致性–如果当样本容量时，参数估计值无限接近其真值，即偏差和方差均趋于0，则该估计是一致估计。即满足条件的估计为一致估计。N2ˆlim[()]0NE2020/2/21大连理工大学13§10.2相关函数与功率谱密度函数2020/2/21大连理工大学1410.2.1相关函数•（1）相关函数的定义2020/2/21大连理工大学15•对于各态历经信号**1()lim()()211()lim()()21NxxNnNNxyNnNRmxnxnmNRmxnynmN2020/2/21大连理工大学16•相关函数的主要性质2020/2/21大连理工大学17•几种典型的自相关函数2020/2/21大连理工大学18•（3）常用随机信号的自相关函数–白噪声的自相关函数–限带白噪声的自相关函数WN0()()2xxNRmmBLWN0sin()2xxWNWmRmWm2020/2/21大连理工大学19•（3）常用随机信号的自相关函数（续1）–AR(p)信号：–AR(p)信号的自相关函数1()()pxxkxxkRmaRmk1()()()pkkxnaxnkwn2020/2/21大连理工大学20•（3）常用随机信号的自相关函数（续2）–MA(q)信号：–MA(q)信号的自相关函数21(),0qmxxkkmkRmbbmq0()()qkkxnbwnk2020/2/21大连理工大学21•（3）常用随机信号的自相关函数（续3）–ARMA(p,q)信号：–MA(q)信号的自相关函数–式中：是模型参数矢量的非线性函数。1()()(,),1,2,,pxxkxxmkRmaRmkfmpab01()()()qpkkkkxnbwnkaxnk0(,)()(),1,2,,qmkkfbwnkxnmmpab0(,)()(),1,2,,qmkkfbwnkxnmmpab2020/2/21大连理工大学2210.2.2功率谱密度函数•（1）功率谱密度函数的定义–功率谱密度（powerspectraldensity，简记为PSD）函数是表示具有有限平均功率信号的频谱分量的单位带宽功率的频率函数，是研究分析随机信号的重要特性。–两个等价的定义：jj(e)()enxxxxmPRm2jj1(e)lim()e21nxxNnPExnN2020/2/21大连理工大学23•（2）相关函数与功率谱密度函数的关系–维纳—辛钦（Wiener-Khinchin）定理：jj(e)()enxxxxmPRmjj(e)()enxyxymPRm2020/2/21大连理工大学24§10.3自相关序列的估计2020/2/21大连理工大学2510.3.1自相关序列的无偏估计•（1）自相关序列的无偏估计–设随机信号是各态历经的，其自相关函数为：–若观测数据长度N为有限值，记为，则：–为了简化，仍然记，将写为–则无偏估计为：()xn*()[()()]xxRmExnxnm()Nxn1*01ˆ()()()NxxNNnRmxnxnmN()()Nxnxnˆ()xxRm(1)ˆ()NRm1||(1)*01ˆ()()(),||1||NmNnRmxnxnmmNNm2020/2/21大连理工大学26•（2）无偏估计的性质–估计的偏：–估计的方差：–当时，有：(1)(1)ˆˆ[()][()]()0NNxxbRmERmRm(1)(1)2(1)2(1)221||22(1||)ˆˆˆˆVar[()]{[()]}{[()]}{[()]}()[()()()](||)NNNNxxNmxxxxxxrNmRmERmERmERmRmNRrRrmRrmNmN(1)ˆlimVar[()]0NNRm无偏估计一致估计2020/2/21大连理工大学2710.3.2自相关序列的有偏估计•（1）自相关序列的有偏估计–定义：–与无偏估计的关系：1||(2)*01ˆ()()(),||1NmNnRmxnxnmmNN(2)(1)||ˆˆ()(),||1NNNmRmRmmNN2020/2/21大连理工大学28•（2）有偏估计的性质–偏：–方差：(2)(2)||ˆˆ[()]()[()](),||1NxxNxxmbRmRmERmRmmNN(2)lim[()]0NNbRm渐进无偏估计2(2)(1)1||2(1||)||ˆˆVar[()]Var[()]1[()()()]NNNmxxxxxxrNmNmRmRmNRrRrmRrmN(2)ˆlimVar[()]0NNRm一致估计2020/2/21大连理工大学29•（3）有偏估计与无偏估计的比较2020/2/21大连理工大学30•【例10.1】•解：2020/2/21大连理工大学3110.3.3自相关序列的快速估计方法•原因–计算量较大。在实际应用中，采用FFT快速算法。–基本思路与步骤（以有偏估计为例）：•把两个长度为N的序列，均补0到2N-1点，得到；•用FFT计算序列的傅里叶变换，得到；•求的模平方并除以N，得到；•对做IFFT，得到。2()Nxn2()Nxn2()NXk2()NXk221|()|NXkN221|()|NXkN(2)0ˆ()Rm2020/2/21大连理工大学32§10.4功率谱估计的经典方法2020/2/21大连理工大学3310.4.1功率谱估计的发展概况•功率谱的概念–功率谱（PSD）：是功率密度与频率的曲线关系。–功率谱估计：•是数字信号处理的主要内容之一；•主要研究信号在频域的各种特性；•目的是根据有限数据提供被噪声淹没的有用信号。2020/2/21大连理工大学34•功率谱估计的发展–牛顿（Newton，英）最先提出了“谱”的概念；–1882年，傅里叶（Fourier，法）提出了著名的傅里叶谐波分析理论；–19世纪，Schuster提出周期图（Periodogram）的概念，是最早的经典谱估计方法；–1927年，Yule提出用线性回归方程来模拟时间序列，成为现代谱估计中参数模型法估计功率谱的基础；–1930年，Wiener首次精确定义了随机过程自相关函数与功率谱的关系，Wiener—Khintchine定理；2020/2/21大连理工大学35•功率谱估计的发展（续）–1949年，Tukey提出了对有限长数据进行谱估计的自相关方法；–1958年，Blackman和Tukey给出了BT法；–1948年，Bartlett提出用自回归模型计算功率谱，打下了现代谱估计的基础；–1965年，Coolay和Tukey提出了FFT算法，促进了谱估计的发展。2020/2/21大连理工大学36•功率谱估计的发展（续2）–现代谱估计主要是针对经典谱估计的分辨率差和方差性能不好的问题而提出的。–现代谱估计从方法上大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计两种：•前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型等；•后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。2020/2/21大连理工大学37功率谱估计方法的分类与汇总2020/2/21大连理工大学3810.4.2周期图谱估计方法•周期图的概念–周期图（periodogram）是一种经典的功率谱密度估计方法。周期图法的主要优点是能应用快速傅里叶变换算法来进行谱估计。–计算公式：–这种方法适用于长信号序列的情况，在序列的长度足够长时，使用改进的周期图法，可以得到较好的功率谱估值，因而应用很广。jj*jj2per11(e)(e)(e)|(e)|PXXXNN2020/2/21大连理工大学39•周期图的计算–直接法：–间接法（BT法）：对自相关函数有偏估计做傅里叶变换，有：jj*jj2per11(e)(e)(e)|(e)|PXXXNNj(2)jj2per1ˆ(e)()e|(e)|mNmPRmXN2020/2/21大连理工大学40•【例10.2】–设离散时间信号为0均值、方差为1的高斯白噪声。试利用MATLAB编程，产生上述白噪声序列，计算其自相关函数，用周期图法估计其功率谱密度。并绘出信号序