第3章 第7节正弦定理、余弦定理应用举例

导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学第7节正弦定理、余弦定理应用举例导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学导航考点目标考什么怎样考能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是高考考查的重点．2.在选择题、填空题、解答题中都可能考查，多属中、低档题.导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学整合主干知识导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图(1))．上方下方导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学(1)(2)导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()A．αβB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°解析：∵α与β为两平行线的内错角，∴α＝β.答案：B导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学2.(教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD.2522m导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学解析：∠B＝180°－(45°＋105°)＝30°，在△ABC中，由正弦定理，得AB＝ACsin∠ACBsin∠B＝50×2212＝502(m)．答案：A导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学3．(2013·潍坊模拟)某海事救护船A在基地的北偏东60°，与基地相距1003海里，渔船B被困海面，已知B距离基地100海里，而且在救护船A正西方，则渔船B与救护船A的距离是()A．100海里B．200海里C．100海里或200海里D．1003海里导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学答案：B解析：如图，在Rt△ADC中，∵∠ACD＝60°，AC＝1003，∴CD＝503，∴∠B′BC＝60°，∴△CBB′为正三角形，∴B′B＝BC＝100，而AB＝BC＝100，∴AB′＝200.导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学4．(2011·上海高考)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．解析：如图所示，由题意知∠C＝45°，由正弦定理得ACsin60°＝2sin45°，∴AC＝222×32＝6(千米)．答案：6导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学5．地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米．解析：如图，设BD＝xm，则142＝102＋x2－2×10×xcos60°，∴x2－10x－96＝0，∴(x－16)(x＋6)＝0，∴x＝16或x＝－6(舍)．答案：16导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学探究考向典例导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学(2013·三明模拟)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内．B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.(1)试探究图中B，D间的距离与另外哪两点间距离会相等？(2)求B、D间的距离．导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学[解析](1)如图，在△ADC中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1km.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，∴∠CED＝90°，∴CB是△CAD底边AD的中垂线，∴BD＝BA.B、D两点间的距离与B、A间的距离相等．导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学(2)在△ABC中，由正弦定理得：ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，即AB＝AC·sin60°sin15°＝32＋620(km)，∴BD＝32＋620(km)．答：B，D间的距离是32＋620km.导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学[规律方法]………………………………………………►►解决三角形的实际应用问题应注意以下两点：(1)根据题目所给条件作出相关示意图．(2)将实际问题转化到三角形中利用正、余弦定理求解．另外，对于仰角、俯角、方向角、方位角要正确地理解和应用．导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学1.(2010·陕西高考)如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学解析：由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△ABD中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD＝30(海里)，∴需要的时间t＝3030＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学(2013·沈阳模拟)测量河对岸的塔高AB时，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝s，并在点C处测得塔顶A的仰角为30°，求塔高AB.导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学[解析]在△BCD中，∠CBD＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝s·sin60°sin45°＝62s.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝62s·tan30°＝22s.导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学[规律方法]………………………………………………►►(1)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．(2)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形与水平面(地平面)内的三角形垂直关系．导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学2．(2013·苏北四市联考)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学解析：如图，作DM∥AC交BE于N，交CF于M.由题中所给数据可得，DF＝MF2＋MD2＝302＋1702＝10298，DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130.EF＝BE－FC2＋BC2＝902＋1202＝150.在△DEF中，由余弦定理得，cos∠DEF＝DE2＋EF2－DF22×DE×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学[解析]设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝103t海里，BD＝10t海里，在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝6海里．导航考点目标整合主干知识探究考向典例关注思想方法课时提能冲关第四章第二单元第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形北师数学又∵BCsinA＝ACsin∠ABC，∴sin∠ABC＝AC·sinABC＝2·sin120°6＝22，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝