第二章 幂函数、指数函数、对数函数

第二章幂函数、指数函数、对数函数第一节函数第二节幂函数第三节指数函数第四节对数函数第一节函数一、映射定义1,ABAxfByfABAB设为两非空集合,如果中的每一个元素,按照某种对应法则,集合中都有惟一确定的元素与之对应,则称这种对应法则为从到的一个.记作:.映射,AB.AxBy,yx,xy.A,,B,A,;,.注意与映射相连的前后两个集合与所处的地位是不相同的中的每一个元素都有中惟一元素与之对应称为的称为的中的每个元素只有一个象反过来中的每一元素它在中可能有原象也可能无原象有原象时原象也不一定惟一象原象如图2-1(a)、(b)、(c)、(d)所示中的,fg是映射，而F，G不是映射.张林工人刘云学生王新教师AB15210320430fgABabcd1234F123436912GABAB(a)f映射(b)g映射(c)F映射(d)G映射定义2设:fAB，为一映射.(1)如果对B中的每一元素y,按照f，A中至少有一元素x与之对应，则称f为满射；(2)如果A中任意两个不同的元素12,xx，其象12,yy也不同，则称f为单射.若:fAB既是单射又是满射,则称f为A到B的一一映射.定义3例3设某班全体同学构成的集合为A,学生考试成绩的集合为|0100yyB,每经过一次考试,都能建立从A到B的一种映射.试问(1)该映射是满射吗?(2)该映射是单射吗?因一个班只有有限个学生,他们的成绩不可能取遍0100，内的数,所以不是满射,又在考试中,也可能出现不同的学生,有不同的成绩;但也可能出现两个或几个学生有相同成绩的情况,所以该映射不一定是单射.二、函数的概念在初中我们已学过函数的概念，现在我们从集合对应的观点出发来描述函数的定义.设D是一个非空集,如果对于任一xD,按照某种对应关系,变量y都有惟一确定的值与之对应,那么y就称为定义在数集D上的x的函数.x称为自变量,数集D称为函数的定义域,和x的值对应的y值称为函数值,函数值的全体构成的集合称为函数的值域,一般用M表示.定义4(函数的实质是什么？函数的关键是什么？函数由哪三部分组成，你知道吗？)y是x的函数,记作()yfx,其中“f”是一个符号,表示变量x与y之间的对应关系.注明：(2)在同一个问题中,讨论几个不同的函数关系时,可用几种不同的函数记号,如(),(),(),(),FxGxgxx…分别表示它们.(3)当自变量x在定义域D内任取一个值0x时,函数()yfx对应的函数值记作:000(),()fxfxyxxxx或.(1)DM由定义4知,函数就是从数集到数集的一种映射(!映射是一种特殊的对应,一一映射是一种特殊的映射.)例4设2()31fxxx,求(2),(0),(1)ffft.由函数的定义知道，当函数的定义域和对应关系确定后，这个函数就完全确定.因此,常把函数的定义域和对应关系称做函数的确定性两个因素.如果两个函数的定义域和对应关系完全相同,那么就认为这两个函数相同.解2(0)(0)3011f22(1)(1)3(1)11fttttt2(2)(2)3(2)111;f例如,33xy=xy=与,易知它们二者的定义域和对应关系相同,故二者为相同的函数;再如,yxx2与y=,二者尽管定义域相同,但对应关系不同,因2y=x=x不恒等于x,故二者是不同的函数;再如1xyyx与,二者的定义域明显不同,故不是相同的函数.三、函数的定义域(1)根据具体的实际意义来确定.(2)根据函数关系式来确定,定义域是使这个式子有意义的自变量取值的集合,常考虑以下几情形.①多项式函数的定义域为实数集R;在研究函数时，首先应考虑它的定义域.确定函数的定义域常从两个方面考虑.③偶次根式函数的定义域是使被开方式不小于零的所有实数的集合;②分式函数的定义域是使分母不等于零的所有实数的集合;④如果函数的关系式是由几部分构成的,那么它们的定义域是使各个部分都有意义的实数集的交集.函数的定义域常用不等式、集合或区间表示.例5求下列各函数的定义域.(1)223yx;(2)2211xyx;(3)211yxx(1)因对任意实数x,函数223yx都有意义,所以其定义域为,;解：(2)因函数关系式为分式,要使之有意义,须使分母10x,即1x,所以该函数的定义域为,11,;(3)由题意,须使2010xx且,于是该函数的定义域为1,00,1.四、函数的图像我们知道,一次函数(0)ykxbk的图像是直线;二次函数2(0)yaxbxca的图像是抛物线;反比例函数(0)kykx的图像是双曲线.它们都是用描点法作出的.从函数图像上可以直观地揭示函数的性质和特征，因此正确描绘和了解函数的图像，是研究函数必须具备的素质.对于一般的函数()yfx,也可用描点法作出它们的图像,方法是:先在定义域内给出x一些值,求对应的函数值y,然后以每一对,xy的值为坐标,在平面直角坐标系内定出对应的点,最后把这些点依次用光滑曲线连接起来即得函数()yfx的图像.例6作出下列函数的图像.(1)1yx;(2)2,2,1,0,1yxx;(3)yx;(4)1yx.(1)1yx,定义域为,x,它的图像是过(0,1),(1,0)两点的直线,如图2-2所示;(2)函数2,2,1,0,1yxx,其图像是四个点的集合{(2,4),(1,2),(0,0),(1,2)},如图2-3所示;解221y=x图函数的图像1yxx12312xyO232,2,1,0,1y=xx函数的图像O12341,21,22,4123112xy2当1x时,1yx是如图2-5中的射线BC(含B点);(3)函数yx,定义域为0,x;描点(0,0),(1,1),(4,2),用光滑曲线连接诸点即得图像,如图2-4所示;(4)函数1yx,定义域为,,些函数可化为1,125(),25.xyxBAB当时是如图中的射线不含点因此已知函数的图像是如图所示的折线1,1xxyxxx11-,124y=x图函数的图像1234xyO12yx251y=x图函数的图像xyO12323111ABC五、反函数例如,设某种商品1000kg,销售单元2元/kg,于是,销售收入y(元)与销售量x(kg)之间的函数关系为y=2x,x为自变量,定义域为0,1000;变量y为函数,值域为0,2000.在函数的定义中有两个变量，一个是自变量，一个是自变量的函数.在实际问题中,究竟把哪一个作为自变量,是根据实际需要决定的.根据y=2x,对于销售收入y的每一个值0,2000y,有惟一确定的销售量0,1000x与y对应,于是确定着一个以y为自变量、x为函数变量的函数，其对应关系从y=2x中可求得：2yx，此函数的定义域为0,2000y，值域为0,1000x；很明显，这是同一实际问题的两种相反的对应关系，习惯上称22yxyx是的反函数.一般地,定义如下.定义设函数()yfx,定义域D,值域为M,如果对于任一yM,都可由关系式()yfx确定惟一的()xxD值与之对应,那么就确定了一个以y为自变量的函数()xy,我们把它称为函数()yfx的反函数.记作1()xfy,它的定义域为M,值域为D.例如，函数31yx的反函数可解得1(1)3xy.但习惯上，常以x作为函数自变量，y表示函数，为此，更换反函数关系式1()xfy中的x、y字母，可写成1()yfx，如31yx的反函数可记作1(1)3yx.1,,.[?]yyfx-1今后如无特殊说明所求反函数表达式均指改写后的表达式为什么x=f可以记为例7求下列函数的反函数.(1)31,yxxR;(2)1,,11xyxRxx且.解(1)因为31yx,所以可解得,31xy,所求反函数为:31,yxxR;(2)因为11xyx,所以可解得,11yxy,所求反函数为:1,,11xyxRxx且.最后顺便指出:(1)不是每个函数在其定义域内都有反函数,只有当函数的反对应关系单值时,才有反函数,如函数2yx,定义域,.由关系式求得反对应关系为xy,很明显它不是单值的,所以2yx在定义域内无反函数;若假定0,x,反对应为xy是单值对应,此时有反函数yx.(2)通过讨论我们会发现,互为反函数的两函数的图像关于直线y=x对称.如函数y=3x+2与其反函数1(2)3yx的图像如图2-6所示,它们关于直线y=x对称.今后,我们可以利用互为反函数的函数图像间的关系,由函数()yfx的图像作出其反函数1()yfx.图2-6及其反函数的图像32yxxy1211O21123yxyx32yx习题思考题：1.什么是映射？函数的实质是什么？2.在什么条件下两个函数相同？3.互为反函数的两个函数关于什么图像对称？课堂练习题：1.判断对或错.232(1).(2)2.(3)1(4)9,9.9.是到的映射()不是函数()函数()函数的定义域是(在定义域函数)内没有反fxxRRyxRyxyx单击左键显示答案答案答案答案√√22.,0,2.24xfxffaax设求3..写出下列函数的反函数2,1)0;(yxx(2)1,0;(3)25,.yxxyxxR4.1.1xfxxx求函数的定义域答案答案答案第二节幂函数一、幂函数的定义我们已经学过函数211,,yxyxyxyx即,对于这种底数是变量、指数是常量的函数，给出如下定义.定义函数ayx叫做幂函数,其中x是自变量,指数a为常量,它可以是任何实数.(?0,xyxyx是否为幂函数)例如,函数121232,,,,,yxyxyxyxyxyx等都是幂函数.本书只讨论a为有理数的幂函数ayx的情况.幂函数ayx的定义域随指数a的值而定,例如,3yx的定义域是,;2yx的定义域为,00,;12yx的定义域是120,;yx的定义域是0,等.二、幂函数的图像和性质幂函数ayx的图像和性质与指数a的值有着密切的关系.下面分别就a0和a0两种情形,讨论几个常见幂函数的图像和性质,进而归纳出一般结论.1.当0a时,幂函数情形先讨论1232,,yxyxyxyx以及的图像和性质.我们知道,y=x的图像是一条过原点的直线[图2-7(a)];2yx的图像是顶点在原点、开口向上的抛物线[图2-7(b)]；用描点法可作出函数132yxyx和的图像[图2-7(c)、图2-7(d)].由图2-7可以看出这四个幂函数有下列性质.(1)图像都通过原点和(1,1)点;(2)在区间0,内，曲线从左到右逐渐上升，即函数y的值随x值的增大而增大，这时，我们称函数在区间0,内单调增加；(3)3yxyx和的图像关于坐标原点对称；2yx在图像关于y轴对称；12yx的图像既不关于原点对称，也不关于y轴对称.27a图0时几种幂函数图像xy21O21121xy21O21121xy21O21121xy21O21121yx2yx3yx12yx（a）（b）（d）（c）对0a时的幂函数ayx作图可知,这类幂函数都具有下列性质.(1)图像都过原点和点(1,1);(2)函数y在区间0,内的值随x值的增大而增大(单调递增).2.当0a时,幂函数情形先讨论幂函数1122,,yxyxyx的图像和