设某次考试的学生成绩服从正态分布

第十六讲单侧区间估假设检验与复习建议本次课总结单侧区间估计与讲授假设检验，结束课程并提出复习建议；总体方差值。样本方差求期望，无偏总体期望值；样本均值求期望，无偏以后求驻点。样本概率密度积，对数常用两等式样本均值等期望；矩估必定在上边。单侧水平在一边，上限各一半，双侧置信在中间，两边下一减。对称上下限，卡方、选；估区间，需把统计量来依据大FtuP重点：区间估计假设检验复习建议难点：区间估计假设检验请各位：自行完成后续作业，老师会将答案提示上传到网上供参考。复习：单侧置信区间估计ˆˆˆ()1()1ˆˆ()PP和双侧置信区间类似，单侧置信区间估计是一个按照（或）求解下限（或上限）的过程；为求解单侧限，选取合适的正态统计量，求解对应的统计量的单侧限然后代入统计量，恒等变形后即可得到单侧下限或上限。第十六讲单侧区间估计222222ˆˆˆ()1P例如：未知，求方差的置信下限（）这是一个按照求的过程，为此取统计量2222222(1)(1)ˆ((1))1nSnPn，由于与的符号互为倒数。故需要求卡方的上限即第十六讲单侧区间估计。见下页的单侧置信区间示意图原则和，单侧上限在上边”的根据“置信水平在一边11222))((nP111222)()(nSnP代入样本函数，即111222)()(nSnP得：21即的置信水平为的单侧置信下限为)1()1(ˆ2122nSnxf2)(21nOx)(2n21第十六讲单侧区间估计由以上两例可以看出，单侧置信区间的估计和双侧置信区间类似，它有两个关键：一是选取适合的正态统计量；二是求统计量的置信区间。由于这些统计量都是4大常用分布，所以，常用分布的置信区间一定要会求。单侧置信区间求解的其它情况就不再赘述了！utF按照水平估区间，需把统计量来选；，对称上下限，卡方下一减。双侧水平在中间，两边各一半；单侧水平在一边，单侧下限在下边。x222u2uOx1uxuuOxu第十六讲区间估计)()()()()()(ttPttPttnSXntuuPuuPuunXu上限下限未知上限下限）（已知单侧区间双侧区间样本函数估计参数221xf2)(221n2Ox2)(22n21第十六讲区间估计xfFOx1FFF2222222211111121222212222212222112222)()()()()()()()()()(nnnSnnnnnxnnii上限下限未知上限下限已知单侧区间双侧区间样本函数估计参数一、假设检验的概念与正态总体均值的假设检验1.1假设检验的思想：经得起检验的假设为大概率（）事件。因此，假设是提出并保证大概率事件发生的过程。检验是基于对假设的不信任，提出并检验小概率事件是否发生的过程。第十六讲假设检验()1()():PPPAA由区间估计知置信区间，即“置信区间”是大概率事件，由对立算法，置信区间置信区间的对立区间，即“置信区间的对立区间”是小概率事件。令为以为概率的小概率事件，则置信区间的对立区间。()P因此，假设检验的思想可概括为：假设是提出并保证参数在置信区间内的大概率事件（即置信区间第十六讲假设检验称为备择假设。对立的假设为称之为原假设，与某种假设，记为做出的一个分布参数，对是总体几个概念：假设：设).,,(),,,(.3000100000HHHX2.1AAAA假设检验的基本过程：首先，提出假设，并且提出的假设保证参数在置信区间内的大概率事件；第二，为了检验假设，根据大概率事件求出对立的小概率事件；最后，代入假设检验是否发生。若发生，则拒绝假设，若没发生，则大概率事件发生，接受假设。1()AP）的过程，检验则是依据假设提出并考察参数在置信区间的对立区间这一小概率事件：置信区间是否发生的过程。第十六讲假设检验0001()1,HPHHHA接受域：若假设使得置信区间成立，即大概率事件发生，则称接受假设，对应的置信区间称为接受域，若小概率事件发生，则称拒绝假设，接受备择假设而且，小概率事件对应的置信区间的对立区间称为拒绝域。:(),APA显著性水平设为小概率事件则称小概率为显著性水平。下：。假设检验常用口诀如的假设用单侧置信区间或，而的假设用双侧置信区间＝一般地，000等式双侧不等单，假设保证置信间，选择假设统计量，小概事件对立算。因此，假设检验的过程实际上是求拒绝域的过程。第十六讲假设检验例题16-1-1总体均值的假设检验（即求总体期望的拒绝域）001.:已知时，假设H。00000002200()1()1,()1PPXuuPuuunuA首先，等式双侧不等单，这是等式假设用双侧置信区间，第二，假设要保证置信区间，为此，需要置信下限置信上限。第三，选含的统计量并求出的置信区间。最后，求的对立区间即小概率事件，并代入假设检验之。.)(,)(20201uuPuuP得对立的小概率由,:2000unXuA为小概率事件即为拒绝域000000000002.:(1()1,,()1HPPXuPun已知，假设首先，等式双侧不等单，这是不等假设,用单侧置信区间，而且假设的已经构成了的下限；第二，假设保证置信间，即假设要保证置信上限），为保证置信上限,需要置信上限如图所示，否则会被挤出置信区间。第三，为了置信上限，选含的统计量需要置信下限第十六讲假设检验0unx置信上限00()1,(),PuuPuu最后，由求其对立事件：第十六讲假设检验000003.:(1-()1,HPP已知，假设首先，等式双侧不等单，且已假设成的上限，因此，第二，假设要保证置信下限），为此，需要置信下限如图。0unx－置信下限0000:XuAuun代入得小概率事件（拒绝域）000000()1,()1PXuPun第三，为了置信下限，选取含的统计量只需求置信上限即可。000()1()()=1PPuuP为了理解和解题的需要，后面，将置信上限和都表示成等式，例如置信上限等。第十六讲假设检验000000(()1,(),:PuPuuXPuuAuun最后，由单侧上限）得对立事件：代入统计量即得拒绝域0()1()1APPA以上过程可以看出，假设检验是一个求小概率事件即拒绝域的过程：基本过程为：首先，等式双侧不等单，第二，假设要保证置信区间，并将其换算成置信区间。第三步，选取含假设参数的正态统计量并求统计量的置信区间；最后，通过对立区间求出统计量的拒绝域并代值检验。0,例如，未知时，若假设，如果要求该假设下期望的拒绝域，则仿照如上4步骤首先，等式双侧不等单00000(1),/((1))1:(1)/xtnSnPttnxAttnSn第三，选取含假设参数的得单侧置信区间，最后,代入统计量，求得对立的拒绝域第十六讲假设检验例题16-1-2（1998，数学一，4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。（附：见下行）028223668831360301235689613597509509750950.)(,.)(,.)(,.)(....tttt00()=1,()=1PP第二，假设保证置信间，假设要保证置信下限，为了保证置信间，需要置信下限1))1((,,1)(7070200000000nttPtnSXtuP的置信区间：求的统计量为此，选取含置信上限置信下限要保证。即假设未知时，假设且是上分位点。根据已知这里的得拒绝域：)(.))(())((..35025035102500250020tttPnttP第十六讲假设检验0301.2353597500250（下）（上）系：下分位点与上分位的关分位点，由点是正数大概率则为下分布对称特点，若分位依据)()(..ttt。故接受假设没有发生代值检验703503012354136157056602500025000,)(:,.)(././..ttAtnSXt分的平均成绩为下，可以认为全体考生即在显著性水平7005.0第十六讲假设检验例题16-1-3，求三种假设时方差的拒绝域202001:)(H已知，假设2202201P假设，等式双侧不等单，假设保证置信间需要保证（置信下限置信上限）)(~)nXi2120n1i20212001（，的样本函数，取含，的置信区间即只需求1222122121))()()(()(nnnPn，或求其对立事件：))()()()((nnnnP222122121)()()()()(:nnnXnAnii222122112020211或得拒绝域020220202已知大较即假设，假设.:)(H22202201,()1PP等式双侧不等单，假设已构成下限，即假设要保证（置信上限），为保证置信上限需要置信上限（否则会将挤出置信区间）第十六讲假设检验202)()21120nxnii（置信上限n222220010102i101)iX第三，选取含，的统计量（依据和即可置信下限的关系求出1212121)()(PP2120n1i202121211),)(iXAP（：对立事件下表的统计量。各种假设见当然，注意选择什么样时三种假设的拒绝域和未知类似地，求出假设0202原假设在显著性水平α下关于的拒绝域统计量及其分布备择假设202202202202202202niiX1202021n2~)()(2222212nn或)(22n)(212n0H0H1H，0（1）已知则得下表：在显著性水平α下关于的拒绝域统计量及其分布备择假设原假设0H0H1H202202202202202202)1()1(2222212nn或)1(22n)1(212n2022)1(sn1~2n（2）未知μ，则得下表：第十六讲假设检验二、关于两个正态总体均值差的假设检验本观测值为:;,,,121nxxx本观测值为:;,,,221nyyy,~211NX设总体1n从其中抽取容量为的样本，得到样,,~222NY设总体2n从其中抽取容量为的样本，得到样2212-2-1例题16已知，时，求均值差的3种假设的拒绝域1212121.,0(=0)1P假设即，首先，等式双侧不等单，假设保证置信间，，即假设要保证置信下限置信