第一章 误差理论与数据处理分析

物理学是一门实验科学。物理实验的思想、方法、技术和仪器已经普遍应用于自然科学领域及工程技术部门当中。作为一门独立的必修基础课，大学物理实验不但能加深同学们对理论的理解，更重要的是能使同学们获得基本的实验知识，在实验方法和技能等各方面得到较系统、严格的训练。同时，在培养科学工作者的良好素质及科学世界观方面，物理实验也起着潜移默化的作用。因此，学好物理实验课对于高等学校理工科学生来说十分重要。一、物理实验课的目的1.通过对物理实验现象的观测和分析，学习运用理论指导实验。分析和解决实验中问题的方法，从理论和实际的结合上加深对理论的理解。2.培养同学们从事科学实验的初步能力。这些能力是指：通过阅读教材或资料，能概括出实验原理和方法的要点；正确使用基本实验仪器，掌握基本物理量的测量方法和实验操作技能；正确记录和处理数据，分析实验结果和撰写实验报告；自行设计和完成某些不太复杂的实验任务等等。3.培养同学们实事求是的科学态度、严谨踏实的工作作风，勇于探索，坚忍不拔的钻研精神以及遵守纪律、团结协作、爱护公物的优良品德。二、实验课的主要教学环节为达到物理实验课的目的，学生应重视物理实验教学的三个重要环节。1、实验预习课前要仔细阅读实验教材或有关的资料，基本弄懂实验所用的原理和方法，并学会从中整理出主要实验条件、实验关键及实验注意事项，根据实验任务画好记录数据的表格。2、实验操作学生进入实验室后应遵守实验室规则，按照一个科学工作者那样要求自己。井井有条地布置仪器，安全操作，注意细心观察实验现象，认真钻研和探索实验中的问题。不要期望实验工作会一帆风顺，在遇到问题时，应看作是学习的良机，冷静地分析和处理它。对实验数据要严肃对待，要用钢笔和圆珠笔记录原始数据。如不小心弄错了，也不要涂改，应轻轻划上一道，在旁边写上正确值（错误多的，需重新记录），使正误数据都能清晰可辨，以供在分析测量结果和误差时参考。不要用铅笔记录原始数据，给自己留有涂抹的余地，也不要先草记在另外的纸上再誊写在数据表格里，这样容易出错，况且，这样已不是“原始记录”了。希望同学注意纠正自己的不良习惯，从一开始就不断培养良好的科学作风，实验结束时，将实验数据交教师审阅签字，整理还原仪器后方可离开实验室。3、实验总结实验后要对实验数据及时进行处理。如果原始记录删除较多，应加以整理，对重要的数据要重新列表。数据处理过程包括计算、作图、误差分析等。计算要有计算式（或计算举例），代入的数据都要有根据，便于别人看懂，也便于自己检查。作图要按作图规则，图线要规矩、美观。数据处理后应给出实验结果。最后要求撰写出一份简洁、明了、工整、有见解的实验报告。实验报告内容包括：（p3）（1）实验名称：表示做什么实验。（2）实验目的：说明为什么做这个实验，做该实验达到什么目的。（3）实验仪器：列出主要仪器的名称、型号、规格、精度等。（4）实验原理：阐明实验的理论依据，写出待测量计算公式的简要推导过程，画出有关的图（原理图or装置图）。（5）实验步逐：写清主要步逐，以及测量哪些物理量等。（6）数据记录：实验中所测得的原始数据要尽可能用表格的形式列出，正确表示有效位数和单位。（7）数据处理：根据实验目的对测量结果进行计算或作图表示，并对测量结果进行评定，计算不确定度，计算要写出主要计算内容。（8）问题讨论：讨论实验中观察到的异常现象及其可能的解释，分析实验误差的主要来源，对实验仪器的选择和实验方法的改进提出建议，简述自己做实验的心得体会，回答实验思考题。实验报告必须在做完实验一周之内完成，按时交报告。实验报告是学生实验成绩考核的主要依据，学生必须认真进行实验总结，撰写合格的实验报告，努力提高科学实验的表达能力。三、实验室规则穿鞋套，收拾场地及仪器设备，打扫教室。详见实验室墙上守则。（本学期所开实验项目及第一次实验预习内容）这一章按教学大纲安排了2个课时，有些内容须由同学们自学。本章介绍测量误差估计、实验数据处理和实验结果的表示等内容。所介绍的都是初步知识，这些知识不仅在每一个物理实验中都要用到，而且是今后从事科学实验必须了解和掌握的。这部分内容牵涉面较广内容多，不可能在一两次学习中掌握，所要求同学们的是，能够对提到的问题有一个初步的了解，然后结合每一个具体实验再细读有关的段落，通过运用加以掌握。应当说明的是：对这些内容的深入讨论是普通计量学以及数理统计学的任务，实验教材只引用了其中的某些结论和计算公式，不进行论证。同学们如有兴趣，可去借阅有关书籍进一步学习。第一节测量与误差测量及其分类一、测量物理实验是以测量为基础的。研究物理现象，了解物质特性、验证物理原理都要进行测量。一个物理量的完整测量结果包括该物理量的数值、结果的可信赖程度（用不确定度表示）以及单位三个要素。二、测量的分类按测量手段：直接测量和间接测量；按测量次数：单次测量和多次测量；按测量条件：等精度测量和不等精度测量。1.直接测量和间接测量“直接测量”就是把待测量与标准量（比如量具）直接比较得出结果。例如用米尺测物体的长度，用天平和砝码测物体的质量，用电流计测线路中的电流，都是直接测量。“间接测量”指利用直接测量的量与被测的量之间已知的函数关系，从而得到该被测量的量。例如钢球的直径D由直接测量测出，然后由公式间接得到体积V。2.单次测量和多次测量3.等精度测量和不等精度测量等精度测量是指在同等实验条件下对某一物理量进行的多次测量.不等精度测量是指在不同实验条件下对某一物理量进行的多次重复测量.在物理实验中,凡是要求对物理量进行多次重复测量的均指等精度测量.误差及其分类实践证明，测量结果都存在有误差，误差自始至终存在于一切科学实验和测量的过程之中。因为任何测量仪器、测量方法、测量环境、测量者的观察力等等都不能做到绝对严密，这些就使测量不可避免地伴随有误差产生。因此分析测量中可能产生的各种误差，尽可能消除其影响，并对测量结果中未能消除的误差作出估计，就是物理实验和许多科学实验中必不可少的工作。因此，我们必须了解误差的概念、特性、产生的原因和估计方法等有关知识。一、真值与误差测量误差就是测量值（结果）与被测的客观存在的真值之间的差值，简称误差。误差的大小反映了测量结果的准确程度。误差可以用绝对误差表示，也可以用相对误差表示。绝对误差=测量结果（值）－被测量的真值用公式表示绝对误差：相对误差（绝对误差与真值之比的百分数）：0xxx％xxE1000被测量的真值测量的绝对误差被测量的真值是一个理想概念，一般说来实验者对真值是不知道的。在实际测量中常用被测量的实际值或已修正过的算术平均值来代替真值，我们也可把它称为最佳近似值，简称最佳值（或近真值）。二、误差的分类测量中的误差主要分为两种类型，即系统误差和随机误差。它们的性质不同，需分别处理。1.系统误差：是指在一定条件下多次测量结果总是向一个方向偏离，其数值一定或按一定规律变化，系统误差的特征是它的规律的确定性。例如用停表测运动物体通过某段路程所需的时间，若停表走得较快，那么即使测量多次，测量的时间t总会偏大，且总是偏大一个固定的量，这就是由于仪器不准确即系统误差造成的。（在同一被测量的多次测量过程中，保持定值或以可预知方式变化的测量误差的分量。）系统误差的来源有以下几个方面：（p6）（1）仪器误差.（2）理论误差.（3）环境误差.（4）观测误差.系统误差的原因可以知道，也可以不知道。测量或实验中存在的系统误差，要尽可能加以修正，并计入测量或实验结果中。修正值，即用代数方法加于未经修正的测量结果的一个值，用来补偿系统误差。修正值和系统误差符号相反，绝对值相等。比如游卡尺、公平称。例:假如公平称指针右偏+0.1，顾客称1Kg水果,实际所得结果应是1-0.1=0.9Kg(其中+0.1为系统误差,-0.1为修正值)2.随机误差：在同一被测量的多次测量过程中以不可预知的方式变化的测量误差的分量。这种误差是实验中各种因素的微小变动性引起的。例如实验装置和测量机构在多次调整操作上的变动性，测量仪器指示数值的变动性,以及观测者本人在判断和估计读数上的变动性，周围环境的干扰以及随着测量而来的其他不可预测的随机因素的影响造成的。随机误差是不可修正的。当测量次数很多，随机误差就显示出明显的统计规律性。大多数情况下,随机误差服从正态分布（或称高斯分布）规律的。标准化的正态分布曲线如下图（p7）：X表示测量值，f（X）表示X的概率密度函数。从曲线可以看出测量值在处的概率密度最大。由图示，服从正态分布的随机误差具有下列特点：单峰性：绝对值小的随机误差(离近)出现的概率比绝对值大的随机误差出现的概率要大;对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相同。有界性：离真值越远,绝对值很大的随机误差出现的概率趋于零,误差的绝对值不超过一定的界限;抵偿性：随机误差的算术平均值随着测量次数的增加而趋于零，即并可推导（见后面）出：0x0)(10limnxxniin0x01limxnxniin因此增加测量次数，可以减小随机误差，但不能完全消除。对测量中的随机误差如何处理呢？我们用描述高斯分布的参数σ来估算随机误差。标准误差（统计学名词）б=（n→∞）表示任一次测量值的随机误差在–σ～+σ间的概率为68.3%。用这一标准误差表示测量的随机误差，它可以表示这一列测量值的精密度，标准误差小就表示测量值很密集，即测量的精密度高，反之，测量值分散，测量的精密度低。nxxnii120在实际测量中，测量次数总是有限的，而且一般说来实验者对真值是不知道的，因此标准误差只具有理论价值，对它的实际处理只能使用如下方法进行估算。在实际测量中常用被测量的实际值或已修正过的算术平均值来代替真值，下面请看近真值是如何推算出来的：设某物理量的真值为X，进行n次测量，测得的值分别为X1、X2……Xn得到误差分别为：△X1=X1－X…△Xn=Xn－X求和：nXXXniinii11XnXnXiniini11当测量次数n→∞，因误差△X有正负值之分，测得次数多，正负抵消，使得左项趋→0，此时测量值的算术平均值是X的最佳估计值。在等精度多次测量的情况下，如果测量次数n不太小，仍可用测量值的算术平均值作为真值的最佳近似值,简称最佳值（或近真值）。nXnii1nXXnii1)1()(12nnxxniix应比每一个测量值更接近于真值，由统计学理论推导平均值的实验标准偏差б为ix上式结果表示某列测量值其平均值的随机误差在(–σ～+σ)间的概率为68.3%。3.过失误差（又称粗大误差）：由于测量者过失，用错仪器，操作不当，读错刻度，记错数据等引起的误差，不属于测量误差，是一种测量错误，这种数据应剔除。测量的精密度、正确度和精确度精密度是指重复测量所得结果相互接近的程度，是表示测量结果中，随机误差大小的程度；正确度是表示测量结果中系统误差大小的程度；精确度表示测量结果与被测量的“真值”之间的一致程度。[定义仪器的精度是其分辨能力的标志，通常可以用仪器的最小分度来表示。仪器的精度可能超过其准确度，温度计的精度可达0.2℃，但其准确度是±1℃：米尺的准确度是1mm，精度为0.5mm。（精度包含了估计值）]如四人进行射击打靶精密度高，正确度低正确度高，精密度低精密度、正确度均低甲乙丙丁精密度正确度均高，精确度高第二节测量结果的不确定度评定不确定度的概念及分类一、不确定度的概念根据定义，误差是指测量值和真值之差，这通常是无法知道的，而不确定度是表征被测量的真值在某个量值范围的一个评定，显然不确定度更能表示测量结果的性质，因此用不确定度取代误差来评价测量质量，在国外已比较普遍地采用。由此我们这样来定义不确定度：不确定度是指由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度。二、不确定度的分类根据国际标准化组织等7个国际组织联合发表的《测量不确定度表示指南ISO1993（E）》的文件精神，普通物理实验的测量结果表示中，不确定度从估计方法上也可分为两类分量：A类指多次重复测量用统计方法计算出的分量，B类指用其他非统计方法估计出的分