14.1.3反证法

14.1.3反证法路边苦李王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?小故事这与事实矛盾。说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？所以，李子是苦的甲：在五一长假里，我和爸爸、妈妈去新加坡玩了整整6天，真是太高兴了.乙：这不可能，5月4号上午还看见你和丙在“步行街”逛街呢！丙：是啊,5月4号我确实和甲在“步行街”逛街！假设甲去新加坡玩了6天，乙：甲没有去新加坡玩了6天.那么甲从5月1号至6号或是2号至7号在新加坡，即5月4号甲在新加坡，这与“5月4号甲在桂阳的“步行街””矛盾,所以假设“甲去新加坡玩了6天”不正确,于是“甲没有去新加坡玩了6天”正确.•在古希腊时,有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的一棵大树下躺下休息睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额,当他们醒过来后，彼此相看时都笑了。一会儿其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到什么了？他运用了怎样的推理方法？各抒己见假设自己的前额没有被涂黑,那么另一个哲学家也不会有异常行为,自己的前额也被涂黑了.这与另一个哲学家笑个不停矛盾,所以假设“自己的前额没有涂黑”不正确,于是自己的前额也被涂黑了.14.1.3反证法中学生导报一、问题情境小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”你能对小华的判断说出理由吗？假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。小华的理由：我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2+b2＝c2.如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？ACCabc一、复习引入探究：假设a2+b2＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立，从而说明原结论a2+b2≠c2成立。ACC若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2+b2≠c2成立吗？请说明理由。abc这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。问题：发现知识：二、探究三、应用新知在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B≠∠CABC证明：假设，则（）这与矛盾．假设不成立．∴．∠B＝∠CAB＝AC等角对等边已知AB≠AC∠B≠∠C小结：反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确例１尝试解决问题感受反证法:证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A’。因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一条，这与与已知两条直线矛盾,假设不成立。所以两条直线相交只有一个交点。小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾例2求证：两条直线相交只有一个交点。已知：如图两条相交直线a、b。求证：a与b只有一个交点。abA●A，●A证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。那么过点A就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。∴a//b.小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c.求证：a//babc例3求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。已知：△ABC求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设，则。∴，即。这与矛盾．假设不成立．∴．△ABC中没有一个内角小于或等于60°∠A60°,∠B60°,∠C60°∠A+∠B+∠C180°三角形的内角和为180度△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.点拨：至少的反面是没有！例4∠A+∠B+∠C60°+60°+60°=180°求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行线中的一条相交,那么和另一条也相交.已知:直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.求证:l3与l2相交.证明:假设____________,那么_________.因为已知_________,这与“____________________________________”矛盾.所以假设不成立,即求证的命题正确.l1l2l3Pl3与l2不相交.l3∥l2l1∥l2经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,例5例6、用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．分析：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论.已知：在△ABC中，AB=AC.求证：∠B、∠C为锐角.证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：(1)两个底角都是直角；(2)两个底角都是钝角；（1)由∠A=∠B=90°则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°180°，这与三角形内角和定理矛盾，∴∠A=∠B=90°这个假设不成立.(2)由90°＜∠B＜180°，90°＜∠C＜180°，则∠A+∠B+∠C180°，这与三角形内角和定理矛盾.∴两个底角都是钝角这个假设也不成立．故原命题正确∴等腰三角形的底角必定是锐角.说明：本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解.假设结论的反面正确推理论证得出结论回顾与归纳反设归谬结论得出矛盾（已知、公理、定理等）假设不成立，原命题成立.反证法的一般步骤:假设命题结论不成立假设不成立假设命题结论反面成立与已知条件矛盾假设推理得出的结论与定理，定义，公理矛盾所证命题成立什么时候运用反证法呢？证明真命题的方法直接证法间接证法反证法万事开头难，让我们走好第一步！写出下列各结论的反面：（1）a//b；（2）a≥0；（3）b是正数；（4）a⊥ba0b是0或负数a不垂直于ba∥b已知：如图△ABC中，D、E两点分别在AB和AC上求证：CD、BE不能互相平分EDCBA（平行四边形对边平行）做一做学习是件很愉快的事证明：假设CD、BE互相平分连结DE，故四边形BCED是平行四边形∴BD∥CE这与BD、CE交于点A矛盾假设错误，∴CD、BE不能互相平分四、巩固新知1、试说出下列命题的反面：（1）a是实数。（2)a大于2。（3）a小于2。（4）至少有2个（5）最多有一个（6）两条直线平行。2、用反证法证明“若a2≠b2,则a≠b”的第一步是。3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步。a不是实数a小于或等于２a大于或等于２没有两个一个也没有两直线相交假设a=b假设这个三角形是等腰三角形五、拓展应用1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。求证：PB≠PCABCP证明：假设PB=PC。在△ABP与△ACP中AB=AC(已知）AP=AP（公共边）PB=PC（已知）∴△ABP≌△ACP（S.S.S)∴∠APB=∠APC(全等三角形对应边相等）这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾，假设不成立.∴PB≠PC美国总统华盛顿从小非常聪明,小偷翻进鲍克家偷走了许多东西,根据迹象表明小偷就是本村人,华盛顿灵机一动,对全村人讲起了故事:“黄蜂是上帝的使者,能辨别人间的真假.”忽然华盛顿大声喊道:“小偷就是他，黄蜂正在他的帽子上兜圈子，要落下来了！”大家回头张望，看着那个想把帽子上的黄蜂赶走的人，其实哪有什么黄蜂？华盛顿大喝一声：“小偷就是他！”你知道华盛顿是如何推理的吗？华盛顿抓小偷警察局里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：Ａ说：这里有１个人说谎．Ｂ说：这里有２个人说谎．Ｃ说：这里有３个人说谎．Ｄ说：这里有４个人说谎．Ｅ说：这里有５个人说谎．聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话？你会释放谁？请与大家分享你的判断！课外延伸古希腊哲学家亚里士多德有一个著名论点:轻重不同的两个物体从同一高度自由下落时,一定是重的物体先落地.在意大利物理学家伽利略提出反对观点以前的一千多年里人们对亚里士多德的说法深信不疑.伽利略为了证明自己的观点是正确的,在意大利的比萨斜塔上,让一个中1磅和重100磅的两个铁球同时从高空自由下落,果然是同时着地.这是科学史上一个极其有名的实验,它否定了亚里士多德的错误观点.你能用今天所学的知识来否定亚里士多德的错误观点吗?试一试.六、全课总结1、知识小结：反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论2、难点提示:利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出命题结论的反面。至少的反面是没有，最多的反面是不止。大家议一议！通过本节内容的学习，你们觉得哪些题型宜用反证法？我来告诉你（经验之谈）（1）以否定性判断作为结论的命题；（2）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；（3）关于“唯一性”结论的命题；（4）一些不等量命题的证明；（5）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段等等.(如平行线的传递性的证明）注意:用反证法证题时,应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。课时作业设计•用反证法证明下列命题：•1.求证：三角形内角中至多有一个内角是钝角。•2.已知：如图，AB∥CD，AB∥EF。•求证：CD∥EF。•3.求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分。4.证明“在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.”ABCDEF第2题图3提示：证明：如图所示，假设两弦AB与CD互相平分连接AC、CB、BD、DA，则四边形ACBD为平行四边形所以∠ACB=∠ADB，因为四边形ACBD内接与圆，所以∠ACB+∠ADB=180°,所以∠ACB=90°，即AB是直径，这与题设的“两条不是直径的弦”矛盾。所以两弦AB和CD不能互相平分。.ACBD4提示：证明：假设在同一平面内，垂直与同一直线的两条直线不平行，那么它们的同旁内角不互补，又因为两条直线垂直于同一直线，它们的同旁内角和等于180°，因此它们相互矛盾。所以在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行