结构力学 第2章 平面体系的几何组成分析

第2章平面体系的几何组成分析●本章教学基本要求：掌握几何不变体系、几何可变体系、刚片、自由度、约束、必要约束与多余约束、实铰与虚铰的概念；了解平面体系的计算自由度及其计算方法；掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用；了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。●本章教学内容的重点：几何不变体系的基本组成规则及其运用；静定结构与超静定结构的概念。●本章教学内容的难点：灵活运用三个基本组成规则分析平面体系的几何组成性质。●本章内容简介:2.1几何不变体系和几何可变体系2.2几何组成分析的几个概念2.3平面体系的计算自由度2.4平面几何不变体系的基本组成规则2.5几何可变体系2.6几何组成分析的方法及示例2.7静定结构与超静定结构2.1几何不变体系和几何可变体系一、几何不变体系和几何可变体系1、几何不变体系——受到任意荷载作用后，若不考虑材料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。DFPFPAABBA1EIEI1=∞弹性变形几何不变体系：刚体.swf2、几何可变体系——受到任意荷载作用后，若不考虑材料的应变，其几何形状和位置仍可以发生改变的体系。ABEI1=∞FPA1A2刚体位移一、几何不变体系和几何可变体系二、造成几何可变的原因1、内部构造不健全：如图a所示，由两个铰结三角形组成的桁架，本为几何不变体系；但若从其内部抽掉一根桁杆CB，如图b所示，则当结点C处作用FP时，该桁架杆件之间将产生刚性位移，即变成了几何可变体系。a)几何不变体系b)几何可变体系ABCDABCDC1D1FPFP2、外部支承不恰当：如图a所示简支梁，本为几何不变体系；但若将A端水平支杆移至C处并竖向设置，如图b所示，则在图示FP作用下，梁AB将相对于地基发生刚性平移，即变成了几何可变体系。a)几何不变体系b)几何可变体系ABFPFPAA1BB1CC1二、造成几何可变的原因三、几何组成分析的目的结构必须是几何不变体系才能承担荷载。几何组成分析的目的主要就是要检查并设法保证结构是几何不变体系；二、自由度体系运动时可以独立改变的座标的数目，称为该体系的自由度。平面内一个点的自由度为2。平面内一根杆件（一个刚片）的自由度为3xxyyAA1DxDyABA1B1DxDyDqoo2.2几何组成分析的几个概念一个刚片的自由度.swf一、刚片体系的几何组成分析不考虑材料的应变，任一杆件（或体系中一几何不变部分）均可看为一个刚体，一个平面刚体称为一个刚片。三、约束减少自由度的装置称为约束（或联系）。可以减少1个自由度的装置是1个约束。杆件与地基之间常用的约束是支杆、固定铰支座和固定支座，称为外部约束；杆件之间常用的约束是链杆、铰结和刚结，称为内部约束。1、链杆的约束作用1根链杆相当于1个约束IIIAB约束：链杆.swf2、铰的约束作用(1)单铰（连接两个刚片的铰）1个单铰相当于2个约束,减少2个自由度。(2)复铰（连接两个刚片以上的铰）连接n个刚片的复铰可折算成（n-1）个单铰，相当于2(n-1)个约束。AIIIIIIIIIq1q2qA约束：单铰.swf约束：复铰.swf3、刚结的约束作用(1)单刚结（连接两个刚片的刚结）1个单刚结相当于3个约束,减少3个自由度。(2)复刚结（连接两个以上的刚片的刚结）连接n个刚片的复刚结可折算成（n-1）个单刚结，相当于3(n-1)个约束。IIIIIIIIIAAABCDEA左A右约束：刚结.swf约束：复刚结.swf四、必要约束和多余约束1、必要约束在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目将随之变化，则此约束称为必要约束。2、多余约束在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目并不因此而改变，则此约束称为多余约束。a)无多余约束b)有多余约束c)有多余约束AA①①①②②②④③③③BBC必要约束.swf多余约束.swf五、实铰和虚铰1、实铰2、虚铰（瞬铰）应注意形成虚铰的两链杆必须连接相同的两个刚片IIIIIIAAIIIAAABBBCCCDDD①①①②②②O(虚铰)O(虚铰)相交于∞处(虚铰)约束：铰接.swf虚铰.swf2.3平面体系的计算自由度一、体系的实际自由度S与计算自由度W的定义1、体系的实际自由度S令体系的实际自由度为S，各对象的自由度总和为a，必要约束数为c，则S＝a–c2、体系的计算自由度W将上式中的必要约束数c改为全部约束数d，则W＝a–d只有当体系的全部约束中没有多余约束时，体系的计算自由度W才等于实际自由度S。二、平面体系的计算自由度1、刚片体系的计算自由度W＝3m-(3g+2h+r)其中：m为个刚片个数；g为单刚结个数，h为单铰结个数，r为与地基之间加入的支杆数。以刚片为对象，以地基为参照物，其刚片体系的计算自由度为（2）计入m的刚片，其内部应无多余约束。如果遇到内部有多余约束的刚片，则应把它变成内部无多余约束的刚片，而把它的附加约束在计算体系的“全部约束数”d时考虑进去。a)b)c)d)图a是内部没有多余约束的刚片，而图b、c、d则是内部分别有1、2、3个多余约束的刚片，它们可以看作在图a的刚片内部分别附加了一根链杆或一个铰结或一个刚结。（1）地基是参照物，不计入m中。在应用公式时，应注意以下几点：(3)刚片与刚片之间的刚结或铰结数目（复刚结或复铰结应折算为单刚结或单铰结数目）计入g和h。(4)刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入g和h，而应等效代换为三根支杆或两根支杆计入r。在应用公式时，应注意以下几点：【例2-1】试求图示体系的计算自由度W。m=9，g=3，h=8,r=6W=3m-(3g+2h+r)=3×9-(3×3+2×8+6)=-4m1m2(3)h(1)hm3m4m5m6m7m8m9(1)h(3)h(3)g(3)r(3)r【例2-2】试求图2-11所示体系的计算自由度。m=9，g=6，r=9W=3m-(3g+2h+r)=3×9-(3×6+2×4+9)=-8m1m2m3m4m5m6m7m8m9(1)h(1)h(1)h(1)g(1)g(2)g(2)g(1)h(3)r(3)r(3)r2、铰接链杆体系的计算自由度W=2j-(b+r)其中：j为体系的铰结数；b为链杆数为；r为支杆数注意：在计算j时，凡是链杆的端点，都应当算作结点，而且无论一个铰结点上连接几根链杆，都只以1计入j中；在计算b和r时，链杆与支杆应当区别开来，因为链杆是内部约束，而支杆则是外部约束，二者不可混淆。【例2-3】试求图2-12所示体系的计算自由度。解：在该体系中，4、5两处除应算作结点外，同时还都是固定铰支座。因此，该体系的铰结数j=5，链杆数b=4，支杆数r=6。故由公式(2-4)，可得W=2j-(b+r)=2×5-(4+6)=045123三、体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系先求出图示各体系的W。a)W=10b)W=0c)W=-10可看出存在以下三种情况：(1)W0时，体系缺少必要的约束，具有运动自由度，为几何可变体系。a)W=10b)W=0c)W=-10(2)W=0时，体系具有成为几何不变体系所必须的最少约束数目，但体系不一定是几何不变的。(3)W0时，体系有多余约束，但体系也不一定是几何不变的。三、体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系(2)若W≤0，只表明具有几何不变的必要条件，但不是充分条件。因为体系是否几何不变还取决于约束的布置是否合理。a)W=10b)W=0c)W=-10(1)若W＞0，体系一定是几何可变的。由此可知：三、体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系2.4平面几何不变体系的基本组成规则一、二元体规则（固定一点规则）——一个点与一个刚片的联结方式总规则：铰结三角形是几何不变的。规则I：一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，则组成内部几何不变且无多余约束的体系。AIBC③②二元体.swf用两根不共线的链杆联结(发展)一个新结点的构造，称为二元体，于是，规则I也可用二元体的组成表述为：由二元体的性质可知：在一个体系上加上（或取消）若干个二元体，不影响原体系的几何可变性。这一结论，常为几何组成分析带来方便。②②②①①①AAA一、二元体规则在一个刚片上，增加一个二元体，仍为几何不变，且无多余约束的体系。增加二元体1.swf增加二元体2.swf二、两刚片规则——平面内两个刚片的联结方式规则II（表述之一）：两刚片用一铰和一链杆相连，且链杆及其延线不通过铰，则组成内部几何不变且无多余约束的体系。规则II（表述之二）：两个刚片用三个链杆相连，且三根链杆不全交于一点也不全平行，则组成内部几何不变且无多余约束的体系。ABC③③③②IIIIIIIAABBCC①②二刚片规则.swf三、三刚片规则——平面内三个刚片的联结方式规律III：三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一直线上，则组成内部几何不变且无多余约束的体系。IIIIIIABC三刚片规则.swf小结1)二元体规则：（不共线）伸出两杆发展结点3)三刚片规则：三个铰链不共一线2)二刚片规则：（铰可“实”可“虚”）一铰一杆铰心勿穿三根链杆不交一点2.5几何可变体系由于约束布置不当，可以持续发生大的刚体运动的体系，称为几何常变体系；一、当两个刚片互相联结时1、三根链杆，常交一点——几何常变体系O虚铰a)几何常变体系b)几何常变体系c)几何瞬变体系d)几何瞬变体系(三根链杆平行且等长)(三根连杆平行但不等长)IIIIIIIIIIIIq1q2q3DDD而只能瞬时绕虚铰产生微小运动的体系，称为几何瞬变体系。几何常变体系1.swf几何常变体系2.swf2、三根链杆，瞬交一点——几何瞬变体系O虚铰a)几何常变体系b)几何常变体系c)几何瞬变体系d)几何瞬变体系(三根链杆平行且等长)(三根连杆平行但不等长)IIIIIIIIIIIIq1q2q3DDD一、当两个刚片互相联结时二、当三个刚片互相联结时若三个铰链，共在一线，即为几何瞬变体系。取结点A为隔离体，如图所示。由∑Fy=0，得FP＝2FNsinqFN＝FP/2sinqq→0时，则FN→∞。这表明，该几何瞬变体系在有限力的作用下，杆件会产生无穷大的内力。几何常变体系和几何瞬变体系在工程结构中均不可采用。IIIIII(地基)AA1BCqqqqllA1FPFPFNFN2.6几何组成分析及示例一、解题步骤1、公式法求体系的计算自由度W，若W＞0（缺少约束），则为几何常变体系；若W≤0，则体系满足几何不变的必要条件，尚须继续进行如下几何组成分析。2、直接进行几何组成分析(1)简化：有二元体，可依次取消；凡本身几何不变且无多余约束的部分，可看为一个刚片（有时也将地基看作一个刚片）。(2)根据三条基本规则，判定体系的几何可变性：若体系是由并列之二、三刚片组成，则可对照基本规则Ⅱ、Ⅲ分析判断；若体系为多层多跨结构，则应先分析基本结构，再分析附属结构。(3)注意：一是约束的等效代换，可将二链杆看作一个铰（虚铰），一个形状复杂的刚片如果仅有两个单铰与其它部分连接也可化作一直线链杆；二是找出“基本——附属”体系中的第一个构造单元。3、答案要肯定一、解题步骤【例2-4】试对图示体系几何组成分析。根据二元体规则，如图所示，依次取消二元体1，2，…，8，只剩下地基，故原体系几何不变，且无多余约束。当然，也可以通过在地基上依次添加二元体8,7，…，1而形成图a原体系，答案完全相同。ABCDEFGHIJK12345678例2-3取消二元体.swf例2-3增加二元体.swf【例2-5】试对图示体系进行几何组成分析。解：首先，依次取消二元体1，2，3；其次，将几何部分ACD和BCE分别看作刚片I和刚片II，该二刚片用一铰（铰C）和一杆（杆DE）相连，组成几何不变的一个新的大刚片ABC。当然，也可将DE看作刚片III，则刚片I、II、III用三个铰（铰C、D、E）两两相连，同样组成新的大刚片ABC；第三，该大刚片ABC与地基刚片IV之间用一铰（铰A）和一杆（B处支杆）相连，组成几何不变且无多余约束的体系。(b)(a)221133ABCDEIII【例2-6】试对图示体系进行几何组成分析。解：首先找出第一个构造单元，它是由刚片I、II、III（