北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案

第1章概率论的基本概念§1.1随机试验及随机事件1.(1)一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T出现的情形.样本空间是：S=；(2)一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S=；2.(1)丢一颗骰子.A：出现奇数点，则A=；B：数点大于2，则B=.(2)一枚硬币连丢2次，A：第一次出现正面，则A=；B：两次出现同一面，则=；C：至少有一次出现正面，则C=.§1.2随机事件的运算1.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C都不发生表示为：.(2)A与B都发生,而C不发生表示为：.(3)A与B都不发生,而C发生表示为：.(4)A、B、C中最多二个发生表示为：.(5)A、B、C中至少二个发生表示为：.(6)A、B、C中不多于一个发生表示为：.2.设}42:{},31:{},50:{xBxxAxxS：则（1）BA，（2）AB，（3）BA，（4）BA=，（5）BA=。§1.3概率的定义和性质1.已知6.0)(,5.0)(,8.0)(BPAPBAP，则(1))(ABP,(2)()(BAP)=,(3))(BAP=.2.已知,3.0)(,7.0)(ABPAP则)(BAP=.§1.4古典概型1.某班有30个同学,其中8个女同学,随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率.2.将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1.5条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是。2.已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(BAPABPAP则)(BAP。§1.6全概率公式1.有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。2.第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。§1.7贝叶斯公式1．某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品,求未经调试的概率。2．将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传递的频繁程度为3:2，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？§1.8随机事件的独立性1.电路如图，其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。ABLRCD2.甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立，求下列概率:(1)恰好命中一次,(2)至少命中一次。第1章作业答案§1.11：（1）},,,,,,,{TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS；（2）}3,2,1,0{S2：（1）}6,5,4,3{}5,3,1{BA；（2）{A正正，正反{},B正正，反反{},C正正，正反，反正}。§1.21：(1)ABC；(2)CAB；(3)CBA；(4)CBA；(5)BCACAB；(6)CBCABA或CBACBACBACBA；2：(1)}41:{xxBA；(2)}32:{xxAB；(3)}43:{xxBA；（4）10:{xxBA或}52x；（5）}41:{xxBA。§1.31：(1))(ABP=0.3,(2))(BAP=0.2,(3))(BAP=0.7.2：)(BAP)=0.4.§1.41：(1)103082228/CCC,(2)(103082228922181022/CCCCCC）（,(3)1-(1030922181022/CCCC）.2：3344/P.§1.51：.2/6；2：1/4。§1.61：设A表示第一人“中”，则P(A)=2/10设B表示第二人“中”，则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=1029210891102两人抽“中‘的概率相同,与先后次序无关。2：随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是0.5，所求概率为：p=0.5×0.4+0.5×0.5=0.45§1.71：（1）94%（2）70/94；2：0.993；§1.8.1：用A,B,C,D表示开关闭合，于是T=AB∪CD,从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性P(T)=P(AB)+P(CD)-P(ABCD)=P(A)P(B)+P(C)P(D)–P(A)P(B)P(C)P(D)424222ppppp2：(1)0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；(2)1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章随机变量及其分布§2.1随机变量的概念，离散型随机变量1一盒中有编号为1，2，3，4，5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球中的最大号码.,试写出X的分布律.2某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X表示射击的次数,试写出X的分布律。§2.210分布和泊松分布1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布，求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率；(3)每分钟最多有1次呼叫的概率；2设随机变量X有分布律：X23,Y～π(X),试求：p0.40.6（1）P(X=2,Y≤2)；(2)P(Y≤2)；(3)已知Y≤2,求X=2的概率。§2.3贝努里分布1一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1)恰有2台计算机被使用的概率是多少？(2)至少有3台计算机被使用的概率是多少？(3)至多有3台计算机被使用的概率是多少？(4)至少有1台计算机被使用的概率是多少？2设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9？§2.4随机变量的分布函数1设随机变量X的分布函数是：F(x)=11115.010xxx（1）求P(X≤0)；P10X；P(X≥1)，(2)写出X的分布律。2设随机变量X的分布函数是：F(x)=0001xxxAx,求（1）常数A,(2)P21X.§2.5连续型随机变量1设连续型随机变量X的密度函数为：他其010)(xkxxf（1）求常数k的值；（2）求X的分布函数F(x)，画出F(x)的图形，（3）用二种方法计算P(-0.5X0.5).2设连续型随机变量0x的分布函数为：F(x)=exexxx11ln10(1)求X的密度函数)(xf，画出)(xf的图形，(2)并用二种方法计算P(X0.5).§2.6均匀分布和指数分布1设随机变量K在区间(0,5)上服从均匀分布,求方程42x+4Kx+K+2=0有实根的概率。2假设打一次电话所用时间（单位：分）X服从2.0的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟到20分钟的概率。§2.7正态分布1随机变量X～N(3,4),(1)求P(2X≤5),P(-4X≤10),P(|X|2),P(X3)；(2)确定c，使得P(Xc)=P(Xc)。2某产品的质量指标X服从正态分布，μ=160，若要求P(120X200)≥0.80，试问σ最多取多大？§2.8随机变量函数的分布1设随机变量X的分布律为；X012p0.30.40.3Y=2X–1,求随机变量X的分布律。2设随机变量X的密度函数为：他其010)1(2)(xxxf，2XY；求随机变量Y的密度函数。3.设随机变量X服从（0，1）上的均匀分布，XYln2，求随机变量Y的密度函数。第2章作业答案§2.11：X345p0.10.30.62：X12345p0.40.6×0.40.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.6×1§2.21：(1)P(X=1)=P(X≥1)–P(X≥2)=0.981684–0.908422=0.073262,(2)P(X≥1)=0.981684,(3)P(X≤1)=1-P(X≥2)=1–0.908422=0.091578。2：(1)由乘法公式：P(X=2,Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)=0.4×(22222eee)=22e（2）由全概率公式：P(Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)+P(X=3)P(Y≤2|X=3)=0.4×52e+0.6×3217e=0.27067+0.25391=0.52458（3）由贝叶斯公式：P(X=2|Y≤2)=516.052458.027067.0)2()2,2(YPYXP§2.31：设X表示在同一时刻被使用的台数，则X～B(5,0.6),(1)P(X=2)=32254.06.0C(2)P(X≥3)=544523356.04.06.04.06.0CC(3)P(X≤3)=1-54456.04.06.0C(4)P(X≥1)=1-54.02：至少必须进行11次独立射击.§2.41：（1）P(X≤0)=0.5；P10X=0.5；P(X≥1)=0.5，(2)X的分布律为：X-11P0.50.52：(1)A=1,(2)P21X=1/6§2.51：（1）2k，（2）111000)(2xxxxxF；（3）P(-0.5X0.5)=4120)(5.0005.05.05.0xdxdxdxxf；或=F(0,5)–F(-0.5)=41041。2：（1）他其01/1)(exxxf（2）2ln1)2(XP§2.61：3/52：422)2()1(eee§2.71：(1)0.5328,0.9996,0.6977,0.5；(2)c=3，2：σ≤31.25。§2.81：Y-113p0.30.40.32：他其010)1(1)(yyyyfY，3：00021)(2/yyeyfyY；第3章多维随机变量§3.1二维离散型随机变量1.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球个数，用Y表示取到的白球个数，写出(X,Y)的联合分布律及边缘分布律。2.设二维随机变量),(YX的联合分布律为：XY012试根椐下列条件分别求a和b的值；00.10.2a(1)6.0)1(XP；10.1b0.2(2)5.0)2|1(YXP；(3)设)(xF是Y的分布函数，5.0)5.1(F。§3.2二维连续型随机变量1.)(YX、的联合密度函数为：他其010,10)(),(yxyxkyxf求（1）常数k；（2）P(X1/2,Y1/2)；(3)P(X+Y1)；(4)P(X1/2)。2．)(YX、的联合密度函数为：他其00,10),(xyxkxyyxf求（1）常数k；（2）P(X+Y1)；(3)P(X1/2)。§3.3边缘密度函数1.设(X,Y)的联合密度函数如下，分别求X与Y的边缘密度函数。yxyxyxf,)1)(1(1),(2222.设(X,Y)的联合密度函数如下，分别求X与Y的边缘密度函数。他其00),(xyeyxfx§3.4随机变量的独立性1.(X,Y)的联合分布律如下，XY123试根椐下列条件分别求a和b的值；11/61/91/18(1)3/1)1(YP；2ab1/9(2)5.0)2|1(YXP；（3）已知X与Y相互独立。2.(X,Y)的联