数学建模――减肥计划修改

数学建模——减肥计划陕西师范大学2011级数创二班杨云丽张丽武婧高婧翁娇恋韩德华问题描述：在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目的，或者即使能减肥一时，也难以维持下去。许多医生和专家意见是，只有通过控制饮食和运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。问题分析：1通常，人体重的变化是由于体内的能量守恒遭到破坏。人通过饮食吸收热量并转化为脂肪等，导致体重增加；又由于代谢和运动消耗热量，引起体重减少。2做适当的假设就可以得到体重变化的关系。3减肥应不伤身体，这可以用吸收热量不要过少，减少体重不要过快来表达模型假设：1.体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加1kg（1kcal=4.2kj）；2.正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在200kcal~320kcal，且因人而异；3.运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4.为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg,每周吸收热量不少于8000kcal建立模型：某甲体重90千克，目前每周吸收18000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至70千克。减肥计划：在节食加运动的情况下，分为三阶段第一阶段：每周减肥1Kg,每周吸收热量逐渐减少，直至达到安全下限（8000Kcal）第二阶段：每周吸收热量保持下限，持续运动，体重减至70Kg，减肥成功第三阶段：保持减肥成果基本模型：K:表示第几周；ω(k):表示第k周的体重；C(k):表示第k周吸收的热量；α:表示热量转换系数[α=1/8000(kg/kcal)];β:表示代谢消耗系数（因人而异）体重变化基本方程其中β’=β+β1β1为增加运动时的代谢消耗系数，由运动的形式和时间决定.)(')1()()1(kwkckwkw模型求解：先确定甲不运动时的代谢消耗系数β。根据已知条件c=18000kcal,α=1/8000,ω=90kg不变，由基本模型得ω=ω+αc-βω推出β=0.025这相当于每周每公斤体重消耗热量18000/100=180kcal。从假设2知，甲的代谢消耗很弱，所以吃得多必将导致他变胖再确定甲运动后的代谢消耗系数β1经调查一下各项运动每小时每公斤体重消耗的热量：跑步跳舞乒乓自行车(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9记表中热量消耗γ，每周运动时间t，利用增加运动后的基本模型，其中β’=β+β1，β1=αγt,即ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+αγt)ω(k)试取β1=αγt=0.003，即γt=24则β’=0.028第一阶段：要求每周体重减少b=1kg,吸收热量减至下限cmin=8000kcal,即ω(k)-ω(k+1)=1,ω(0)-ω(k)=bkω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-β’ω(k)])('[1)1(bkwkc)'1()0('kbw])('[1)1(bkwkc)'1()0('kbw根据α,β’,b,cmin已知，取β1=0.03β’=0.028，有C(k+1)=10000-200k≥cmin=8000得K≤10,即第一阶段共10周，按照C(k+1)=10000-200k吸收热量，可使体重每周减1kg，至第10周末可减至80kg第二阶段：要求每周吸收热量保持下限cmin，由基本模型得ω(k+1)=ω(k)+αcmin-β’ω(k)=（1-β’）ω(k)+αcmin要得到减至70kg所需周数，可将上式递推得已知ω(k)=80,α,β’,cmin，求ω(k+n)=70，由上式得：])'1()'1(1[)()'1()(1minnckwnkw']')([)'1(minmincckwn70=0.972n(80-35.715)+35.714解得n=9,即每周吸收热量保持在下限，再过9周就可减至70kg第三阶段：若要维持70kg的体重，最简单的方案是找出每周吸收热量保持某常数c,使ω(k)不变。由上式ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+αγt)ω(k)ω=ω+αc-(β+αγt)ωC=(β+αγt)ω/α若不运动β1=αγt=0，得c=14000kcal；若运动，则c=15680kcal减肥建议节食加运动能有效减肥，节食时间周期长，在第一阶段就运动减肥会更快达到预期目标。通过改变β’，缩短减肥的时间，改变运动的方式和时间是不错的减肥方式。