高数空间曲线及其方程

第七章一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影第四节空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组2SL0),,(zyxF0),,(zyxG1S例如,方程组表示圆柱面与平面的交线C.xzy1oC2又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.yxza二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t的函数:称它为空间曲线的参数方程.空间曲线——圆柱螺线P同时又在平行于z轴的方向等速地上升。其轨迹就是圆柱螺线。圆柱面222ayxyz0xax=y=z=acostbtM(x,y,z)asinttM螺线从点PQ当t从02，bPQ2叫螺距N.Q（移动及转动都是等速进行，所以z与t成正比。)点P在圆柱面上等速地绕z轴旋转；例1.将下列曲线化为参数方程表示:解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为消去z得投影柱面则C在xoy面上的投影曲线C´为消去x得C在yoz面上的投影曲线方程消去y得C在zox面上的投影曲线方程00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC。平面的投影在的交线及求曲面22222xoyLyxzyxz22222yxzyxz1.1122zyx解yxzo得交线L：由z=0211122zyxyxzo解122yxL所求投影曲线为122yx0122zyx...得交线L：.投影柱面22222yxzyxz由。平面的投影在的交线及求曲面22222xoyLyxzyxzzyxC1o例如,在xoy面上的投影曲线方程为002222zyyx1)1()1(1:222222zyxzyxCzxyo1C又如,所围的立体在xoy面上的投影区域为:上半球面和锥面在xoy面上的投影曲线二者交线.0,122zyx所围圆域:二者交线在xoy面上的投影曲线所围之域.L:xzy0()消去zy2=–4xy2=–4x22222443812yzxzyzx将换其成线投影柱面的交例空间曲线作为投影柱面的交线22222443812yzxzyzx将换其成L:xzy0()线投影柱面的交消去z(消去x).y2+(z–2)2=4y2+(z–2)2=4y2=–4xy2=–4x例空间曲线作为投影柱面的交线L：L:xzy0L转动坐标系，有下页图()转动坐标系，有下页图.消去z(消去x).y2+(z–2)2=4y2=–4xy2+(z–2)2=4y2=–4x22222443812yzxzyzx将换其成线投影柱面的交例空间曲线作为投影柱面的交线L：Lxzy0y2+(z–2)2=4y2=–4x(消去z)y2+(z–2)2=4(消去x)y2=–4x例空间曲线作为投影柱面的交线666x+y+z=63x+y=62作图练习x0zy平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图666x+y+z=63x+y=62.x0zy平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图作图练习3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0zy42平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图作图练习3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0zy42平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图作图练习42x+y+z=6.x0zy666平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图作图练习42.x0zy666平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图作图练习aa所围立体图作出曲面z,y,x,azxayx，xzy0作图练习z=0y=0x=0aaxzy0所围立体图作出曲面z,y,x,azxayx，作图练习.aaxzy0学画草图所围立体图作出曲面z,y,x,azxayx，作图练习.a222211zxyxyz围图作出曲面和所立体形1–11yx0作图练习z22yxz122zyxyxz0122zyxyx备用题求曲线绕z轴旋转的曲面与平面的交线在xoy平面的投影曲线方程.1zyx解：旋转曲面方程为交线为此曲线向xoy面的投影柱面方程为此曲线在xoy面上的投影曲线方程为,它与所给平面的