用导数研究三次函数

用导数研究三次函数一、知识点解析1、定义：定义1、形如32(0)yaxbxcxda的函数，称为“三次函数”。定义2、三次函数的导函数为二次函数:)0(23)(2/acbxaxxf，我们把)3412422acbacb（,叫做三次函数导函数的判别式。2、三次函数图象与性质的探究：1、单调性一般地，当032acb时，三次函数)0(23adcxbxaxy在R上是单调函数；当032acb时，三次函数)0(23adcxbxaxy在R上有三个单调区间。2、对称中心三次函数)0()(23adcxbxaxxf是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(abfab，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。3、三次方程根的问题（1）当032acb时，由于不等式0)(xf恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。（2）当△=032acb时，由于方程0)(xf有两个不同的实根21,xx，不妨设21xx，可知，))(,(11xfx为函数的极大值点，))(,(22xfx为极小值点，且函数)(xfy在),(1x和),(2x上单调递增，在21,xx上单调递减。此时：①若0)()(21xfxf，即函数)(xfy极大值点和极小值点在x轴同侧，图象均与x轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。②若0)()(21xfxf，即函数)(xfy极大值点与极小值点在x轴异侧，图象与x轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。③若0)()(21xfxf，即)(1xf与)(2xf中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。4、极值点问题若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)≥f(x)(或f(x0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。当0时，三次函数yfx在,上的极值点要么有两个。当0时，三次函数yfx在,上不存在极值点。5、最值问题。函数若，且，则：max0,,fxfmfxfn；。6、过三次函数上一点的切线问题设点P为三次函数)0()(23adcxbxaxxf图象上任一点，则过点P一定有直线与)(xfy的图象相切。若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。7、过三次函数外一点的切线问题设点),(00yxP为三次函数)0()(23adcxbxaxxf图象外，则过点P一定有直线与)(xfy图象相切。可能有一条、两条或三条。（具体情况分析不作要求）8、32()0fxaxbxcxda（）类似于二次函数的图像和性质表：032acb032acb图像0)()(21xfxf0)()(21xfxf0)()(21xfxf()0fx根的个数三实根两实根一实根一实根与x轴三交点两交点一交点一交点二、经典题型一、考查函数的奇偶性和单调性例1已知函数f(x)=x3+px+q(x∈R)是奇函数，且在R上是增函数，则（）A、p=0,q=0B、p∈R,q=0C、p≤0,q=0D、p≥0,q=0解析由奇函数以及增函数的定义易知选D二、考查函数图象的对称性例2函数f(x)=x3-3x2+x-1的图象关于（）对称A、直线x=1B、直线y=xC、点(1,-2)D、原点解析由f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象关于2327233,ababcabd成中心对称知选C例3、（2013课标全国，16）若函数))(1()(22baxxxxf的图像关于直线x=-2对称，则)(xf的最大值为____________.解析：函数))(1()(22baxxxxf的图象关于直线x=-2对称，则)5()1()4()0(ffff解得a=8，b=5，所以)158)(1()(22xxxxf可以解得)(xf的最大值为16。三、运用函数的性质和数形结合思想解题例4已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（）A、b∈(-∞,0)B、b∈(0,1)C、b∈(1,2)D、b∈(2,+∞)解析显然f(0)=d=0，由f(x)=ax(x-1)(x-2)知a0，又f(x)=ax3-3ax2+2ax比较系数可知b=-3a0，故选A引申试确定的a,b,c,d符号（答：a0,b0,c0,d=0）例5（2013课标全国Ⅱ卷，10）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）（A）xα∈R,f(xα)=0（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C）若xα是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,xα）单调递减（D）若x0是f（x）的极值点，则0'0fx解析：由三次函数值域为R知f(x)=0有解，A正确；由性质可知B正确;由性质可知若f(x)有极小值点，则0)(xf由两个不相等的实数根)(,2121xxxx,))((323)(212xxxxbaxxxf,则f(x)在（-∞,x1)上为增函数，在),(21xx),(21xx),(21xx上的交点单调性在),(1x和),(2x上为增函数.，在),(21xx上为减函数在R上为增函数极值有两个极值，一个极大值1()fx，一个极小值2()fx无极值yx为减函数，在（x2，,)上为增函数，故C错。D正确。选C。四、考查单调区间、极值、最值的问题例6（2010年全国卷Ⅱ文）已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1。（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。解析：（2）求出函数的导数()fx，在（2，3）内有极值，即为()fx在（2，3）内有一个零点，即可根据(2)(3)0ff，即可求出a的取值范围。五、考查交点个数问题例7（2009陕西文20）已知函数（I）求的单调区间；（II）若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点．．．．．．．．．．，求m的取值范围.解：（1）当时，对，有所以的单调增区间为当时，由解得或，由解得，所以的单调增区间为，单调减区间为.（2）因为在处取得极大值，所以所以由解得.由（1）中的单调性可知，在处取得极大值1，在处取得极小值-3.因为直线与函数的图象有三个不同的交点，所以的取值范围是.点评：（1）本题是三次函数零点存在性问题的典型变式题，涉及图象交点向函数零点的转化关系；（2）本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；（3）在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质.六、考查曲线的切线问题例8（2007全国II理22）已知函数3()fxxx．（1）求曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程；（2）设0a，若过点()ab，可作曲线．．．．()yfx的三条切线．．．．．，证明：3()31,0fxxaxa()fx()fx1x()yfx'22()333(),fxxaxa0axR'()0,fx()fx(,)0a'()0fxxaxa'()0fxaxa()fx(,),(,)aa(,)aa()fx1x'2(1)3(1)30,1.faa3'2()31,()33,fxxxfxx'()0fx121,1xx()fx()fx1x1xym()yfxm(3,1)()abfa解：（1）()fx的导数2()31xxf．曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程为：()()()yftftxt，即23(31)2ytxt．（2）如果有一条切线过点()ab，，则存在t，使23(31)2btat．若过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，则方程32230tatab有三个相异的实数根．记32()23gttatab，则2()66gttat6()tta．当t变化时，()()gtgt，变化情况：由()gt的单调性，当极大值0ab或极小值()0bfa时，方程()0gt最多有一个实数根；当0ab时，解方程()0gt得302att，，即方程()0gt只有两个相异的实数根；当()0bfa时，解方程()0gt得2atta，，即方程()0gt只有两个相异的实数根．综上所述，如果过()ab，可作曲线()yfx三条切线，即()0gt有三个相异的实数根，则0()0.abbfa，即()abfa．点评：（1）本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体；（2）本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；（3）在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质.七、含参数的恒成立问题例9（2008年安徽文）t(0)，0(0)a，a()a，g'(x)00g(x)增函数极大值减函数极小值增函数设函数323()(1)1,32afxxxaxa其中为实数。（Ⅰ）已知函数()fx在1x处取得极值，求a的值；（Ⅱ）已知不等式'2()1fxxxa对任意(0,)a都成立，求实数x的取值范围。解析：（Ⅰ）'2()3(1)fxaxxa，由于函数()fx在1x时取得极值，所以'(1)0f即310,1aaa∴对于问题（Ⅱ）有两种方法：方法一转化为关于a的函数)(ag由题设知：223(1)1axxaxxa对任意(0,)a都成立即22(2)20axxx对任意(0,)a都成立设22()(2)2()gaaxxxaR,则对任意xR，()ga为单调递增函数所以对任意(0,)a，()0ga恒成立的充分必要条件是(0)0g即220xx，20x∴于是x的取值范围是|20xx方法二恒成立问题，转化为不等式的最值问题由题设知：223(1)1axxaxxa对任意(0,)a都成立即22(2)20axxx对任意(0,)a都成立于是2222xxax对任意(0,)a都成立，即22202xxx20x∴于是x的取值范围是|20xx三、高考试题检测1．(2011·广东，12)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．解析∵f′(x)＝3x2－6x＝0得x＝0或x＝2.∴当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时f′(x)0，f(x)为增函数．当x∈(0，2)时，f′(x)0，f(x)为减函数．∴f(x)在x＝2处取得极小值．答案22、(2014·辽宁，11)当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．[－5，－3]B.－6，－98C．[－6，－2]D．[－4，－3]解析当x∈(0，1]时，得a≥－31x3－41x2＋1x，令t＝1x，则t∈[1，＋∞)，a≥－3t3－4t2＋t，令g(t)＝－3t3－4t2＋t，t∈[1，＋∞)，则g′(t)＝－9t2－8t＋1＝－(t＋1)(9t－1)，显然在[1，＋∞)上，g′(t)0，g(t)单调递减，所以g(t)max＝g(1)＝－6，因此a≥－6；同理，当x∈[－2，0)时，得a≤－2.由以上两种情况得－6≤a≤－2，显然当x＝0时也成立．故实