复数基础知识点

1、复数的定义：设i为方程21x的根，i称为虚数单位，形如()abiabR、的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用C来表示.a为实部，b为虚部2．复数集整数有理数实数(0)分数复数(,)无理数(无限不循环小数)纯虚数(0)虚数(0)非纯虚数(0)babiabRaba3.复数的几何意义对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z).z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。4.两个复数相等的定义：abicdiac且bd（其中abcdR，，，，）特别地，00abiab.5.复数的四则运算设111zabi，222zabi（1）加法：121212zzaabbi，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；（2）减法：121212zzaabbi，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；（3）乘法：1212122112zzaabbababi，特别22zzab；复数biaz复平面内的点Z（a,b）平面向量OZ（4）除法cdizabi（,ab是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：22acbdadbcicdicdiabizabiabiabiab；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。即对,mnN有:mnmnzzz,()mnmnzz,1212()nnnzzzz6共轭复数若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；【注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]】若z=a+bi，则zabi的共轭复数记作zabi；zz为实数，zz为纯虚数(b≠0).共轭复数的性质：⑴22||zzab;⑵azz2；⑶i2bzz;⑷2222,zzabRzzzz;（5）nnzz)(；（6）若1z，则zz1.7复数的摸若向量OZ表示复数z，则称OZ的模r为复数z的模，22||zabiab一些常用的结论1两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等（两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.）。⑴若21,zz为复数1：当120zz时，则12zz（×）[21,zz为复数，而不是实数]；2：当12zz时，则120zz.（√）⑵若Ccba,,，则0)()()(222accbba是cba的必要不充分条件.（当22)(iba，0)(,1)(22accb时，上式成立）2i性质：T=4；iiiiiinnnn3424144,1,,1；;03424144nnniiii3复数相等的充要条件：两个复数实部和虚部分别对应相等。4复数z是实数的充要条件是z=z;z是纯虚数的充要条件是：z+z=0（且z≠0）.复数biaz复平面内的点Z（a,b）平面向量OZ复数biaz复平面内的点Z（a,b）平面向量OZ复数biaz复平面内的点平面向量OZ