第6章 离散时间信号与系统的z域分析

第6章离散时间信号与系统的z域分析6.1离散信号的z变换6.2单边z变换的性质6.3z反变换6.4离散系统的z域分析6.5系统函数H(z)6.6系统函数零、极点分布与时域响应特性的关系6.7域与域的关系6.8离散系统的稳定性6.9离散系统的频率特性本章学习目标（1）掌握z变换与z反变换。（2）掌握离散系统的z域分析方法。（3）掌握离散系统函数。（4）熟悉z变换的主要性质。（5）熟悉离散系统函数零、极点的概念。（6）了解离散系统稳定性和频率响应特性的概念。6.1离散信号的z变换6.1.1z变换的定义6.1.2z变换的收敛域6.1.3常用基本离散序列的单边z变换返回首页6.1.1z变换的定义1．从拉氏变换到z变换2．z反变换式1．从拉氏变换到z变换nssnsTsnTtnTfnTttfttftf)()()()()()()(-n-nLLssnTsssssenTfnTtnTftfsF)()()()()(2．z反变换式根据复变函数中的柯西定理：00021kkjdzzckcmnncmdzzznfdzzFz101)()(返回本节6.1.2z变换的收敛域nnznf)(0]Re[z]Im[zj]Im[zj]Re[z]Re[z]Im[zja0aaabb0aa图6-1例6-1图图6-2例6-2图图6-3例6-3图返回本节6.1.3常用基本离散序列的单边z变换1．指数序列)(nuan00)()(nnnnnnazzzazanuazFZ即：azznuan)(2．单位阶跃序列u(n)1)(0zzzzFnn即：1)(zznu3．单位冲激序列1)()(nnznzF即：1)(n即：用同样的方法可得：1cos2sin)()sin(2zzznun1cos2)cos()()cos(2zzzznun表6-1常用离散序列的z变换对返回本节6.2单边z变换的性质6.2.1线性6.2.2移位6.2.3z域尺度变换（序列指数加权）6.2.4域微分（序列线性加权）6.2.5初值定理6.2.6终值定理6.2.7时域卷积定理返回首页6.2.1线性)()()()(22112211zFazFanfanfa返回本节6.2.2移位1．右移位2．左移位1．右移位设f(n)是双边序列，其单边z变换为f(z)，则对于任意正整数m，有：1)()()()(mkkmzkfzFznumnf2．左移位设f(n)是双边序列，其单边z变换为f(z)，则对于任意正整数m，有：10)()()()(mkkmzkfzFznumnf返回本节6.2.3z域尺度变换（序列指数加权）若，则：)()(zFnf)()()(azFnfaazFnfann式中a为常量。证明对于式（6-27）中的两种情况，这里只证明其中的一种。将上式与式（6-5）进行比较，得：00)()()(nnnnnnaznfznfanfaZazFnfan)(Z返回本节6.2.4域微分（序列线性加权）若，则：)()(zFnf)()(zFdzdznnf(6-28)返回本节6.2.5初值定理返回本节6.2.6终值定理返回本节6.2.7时域卷积定理)()()()()()()()()()()()()()()()(1201202100)(210021002102121zFzFzkfzFzFzkfzzknfkfzknfkfzknfkfznfnfnfnfkkkkknkknknnnnknnZ表6-2常用z变换的基本特性和定理返回本节6.3z反变换6.3.1幂级数展开法（长除法）6.3.2部分分式展开法返回首页6.3.1幂级数展开法（长除法）01110111)()()(azazazbzbzbzbzNzMzFnnnmmmm(6-32)321221112793127279993333zzzzzzzzzzz返回本节6.3.2部分分式展开法z变换式F(z)通常为z的有理函数分式，即：01110111)()()(azazazbzbzbzbzNzMzFnnnmmmm下面将介绍几种情况下，由z变换式F(z)求序列信号f(n)的步骤。niniiniiipApzzAzFnf)()]([)(1111ZZ（6-35）n≥0返回本节6.4离散系统的z域分析6.4.1零输入响应的域解6.4.2零状态响应的域解6.4.3全响应的域解返回首页6.4.1零输入响应的域解设描述离散系统的差分方程为：由5.4节讨论可知，离散系统的零输入响应就是齐次差分方程：MrrNkkrnxbknya00)()(0)(0Nkkknya(6-39)(6-40)返回本节6.4.2零状态响应的域解由5.4节讨论可知，离散系统的零状态响应就是当系统的初始状态为零时，即：)(nyzs0)1()2()1()(yyNyNyNkkkMrrrzszazbzXzYzY00)()()((6-43)对应的零状态响应就是式（6-43）的反变换，即：)()(1zYnyzszsZ返回本节6.4.3全响应的域解返回本节6.5系统函数H(z)6.5.1系统函数的定义6.5.2系统函数的求解方法返回首页6.5.1系统函数的定义由第5章离散系统的时域分析可知，离散系统的零状态响应为：)()()(nxnhnyzs(6-46)上式两边取z变换，并利用时域卷积定理，得：)()()(zXzHzYzs为了书写方便，这里将零状态响应的象函数记为y(z)，即：)()()(zXzHzY将式（6-47）改写成：)()()(zXzYzH(6-48)返回本节6.5.2系统函数的求解方法下面给出系统函数h(z)的几种求解方法。（1）若已知激励和零状态响应的z变换，根据定义求解。（2）若已知系统的单位样值响应h(n)，则根据求解。（3）若已知系统的差分方程，则对差分方程两边取z变换，并考虑当n0时，x(n)和y(n)均为零，从而求得h(z)。（4）若已知系统的模拟框图，则根据其输入激励与输出响应的关系，利用z变换求解。)()()(zXzYzH)]([)(nhzHZ)(nx)(ny41z-1z-1图6-4例6-22图返回本节6.6系统函数零、极点分布与时域响应特性的关系6.6.1系统函数的零、极点与零、极点图6.6.2系统函数的零、极点分布图与时域特性的关系返回首页6.6.1系统函数的零、极点与零、极点图对于一个线性时不变离散系统，其系统函数h(z)一般表示为z的有理分式，即：NkkMrrNkkkMrrrzpzzGzazbzXzYzH111100)1()1()()()((6-49)例如某离散系统的系统函数为：)4133()21(2)(222zzzzzsH则该系统函数的零、极点图如图6-5所示。011]Re[z]Im[zj5.02(2)图6-5的零、极点分布图返回本节6.6.2系统函数的零、极点分布图与时域特性的关系由于系统函数h(z)与单位样值响应h(n)是一对z变换，即：)]([)()]([)(1zHnhnhzHZZ因此，完全可以从系统函数h(z)的零、极点分布情况确定出单位样值响应h(n)的性质。由式（6-49），系统函数h(z)还可以写成：NkkMrrNkkMrrpzzzGzpzzGzH111111)()()1()1()((6-50)三种情况的极点分布与h(n)的对应关系。1．单位圆内极点2．单位圆上极点3．单位圆外极点011]Re[z]Im[zj图6-6h(z)极点分布与h(n)的关系返回本节6.7域与域的关系由z变换的定义可知，复变量z与s的关系为：如果将s表示成直角坐标形式为：zTsezssTsln1js(6-53)(6-54)返回首页而将z表示成极坐标形式为：jTjTTjreeeezsss)(ssTTers2(6-55)(6-56)返回本节6.8离散系统的稳定性nnh)((6-57)返回首页)(nx)(ny)(nq)1(nq3P4Pz-1图6-7例6-23图返回本节6.9离散系统的频率特性6.9.1频率特性6.9.2频率特性的几何确定返回首页6.9.1频率特性与连续系统相似，离散系统的频率特性是指离散系统在正弦序列激励或（）作用下的稳态响应随频率变化的特性。由于正弦序列或余弦序列是复指数序列的虚部或实部，为了简化运算，可以考虑复指数序列作用下的稳态响应。)sin(sTnA)cos(sTnAnsssTjnTjnjTnjeAeAeAenx)()(00)(0))(()()()()()()(kkTjTjnkTknjksssekheAeAkhknxkhnxnhny(6-62)(6-63)返回本节6.9.2频率特性的几何确定如果已知系统函数H(z)在z平面上零、极点的分布，通过几何方法可以简便而直观地求出离散系统的频率响应特性，即：NkkMrrpzzzGzH11)()()(则：)()()()()(11sTjNkkTjMrrTjTjTeHpezeGeHssss令：ksrsjkkTjjrrTjeBpeeAze于是幅频特性为：NkkMrrTjBAeHs11)((6-67)相频特性为：NkkMrrsT11)((6-68)011]Re[z]Im[zj1p2p2z1z12121B2B1A2AsTDsTje图6-8频率特性的几何确定法)(nx)(ny5.0z-1z-1图6-9例6-24图011]Re[z]Im[zj1121B2B1AsT图6-10频率特性的几何确定法0sT32)(sTjeH2)(sTsT212230223030（a）幅频特性曲线（b）相频特性曲线图6-11频率特性曲线返回本节本章小结（1）z变换建立了离散时间信号与z域之间的对应关系，成为离散时间信号与系统分析的一种有力的数学工具。与拉氏变换相似，z变换是一个幂级数，亦存在收敛域的问题，所以收敛域应当作为z变换的一部分才能使序列与其z变换是—一对应的关系。（2）z变换的性质同样地反映出了信号的时域与z域之间的关系，熟练掌握z变换的基本性质及常用信号的z变换将有利于z变换的应用。（3）z域分析法利用z变换把线性差分方程转换为z域的代数方程来求解，并通过z反变换求出系统响应的时域解。（4）系统函数h(z)等于离散系统零状态响应象函数y(z)与系统激励的象函数x(z)之比。（5）系统函数h(z)的零、极点分布与s域的零、极点分布存在着一定的对应关系。