第三章 边值问题的解法

给定边界条件下求有界空间的静电场和电源外恒定电场的问题，称之为边界值问题。第3章边值问题的解法3.1边值问题的提法(分类)3.1.1边值问题的分类1狄利克雷问题：给定整个场域边界面S上各点电位的（函数）值2聂曼问题：给定待求位函数在边界面上的法向导数值3混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合另外，若场域在无限远处，电荷分布在有限区域，则有自然边界条件若边界面是导体，边界条件转变为已知一部分导体表面的电位或另一部分导体表面的电荷量。()fs/()nfs()fsnlimrr有限值3.1.2泊松方程和拉普拉斯方程1泊松方程(Poisson‘sEquation)在线性、各向同性、均匀的电介质中，称之为静电场的泊松方程，它表示求解区域的电位分布取决于当地的电荷分布。2拉普拉斯方程(Laplace'sEquation)电荷分布在导体表面的静电场问题，在感兴趣的区域内多数点的体电荷密度等于零，即ρV=0，因而有▽2φ=0称为拉普拉斯方程。2V3.2唯一性定理1定理内容在静电场中，每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是唯一的，即静电场的唯一性定理。2证明过程利用反证法来证明在第一类边界条件下，拉普拉斯方程的解是唯一的。考虑一个由表面边界S包围的体积V，由格林第一定理2()VSdVdSn整理，因为，所以，设在给定边界上的电位时，拉普拉斯方程有φ1和φ2两个解，由于拉普拉斯方程是线性的，两个解的差φ′=φ1-φ2也满足方程2()VSdVdSn202()VVdVdSn2()VSdVdSn2'0在边界S上，电位所以φ′在边界S上的值为则得2()0VdV12SSS11'0SSS3.1.3静电场边界值问题的间接解法唯一性定理边值问题数值法解析法分离变量法镜像法有限差分法2R1R例1:已知无限长同轴电缆内、外半径分别为和，如图所示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为，外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。1R2RU解：根据轴对称的特点和无限长的假设，可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，采用圆柱坐标系1()0rrrrlnArB积分由边界条件1lnUARB20lnARB21122lnlnlnUUABRRRRR221lnlnRURrR则：E21ˆlnrUEaRrR3.3镜像法•理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。•镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。应注意的问题：–镜像电荷位于待求场域边界之外。–将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。–实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界处的边界条件不变。待求场域：上半空间边界：无限大导体平面边界条件：1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像q导体平面0zddqqpxo1r2r导体平面在空间的电位为点电荷q和镜像电荷-q所产生的电位叠加，即012114πqrr12rr电位满足边界条件导体平面边界上：0E3/23/222222204π()()xqxxExyzdxyzd3/23/222222204π()()yqyyExyzdxyzd3/23/222222204π()()zqzdzdExyzdxyzd1/21/22222220114π()()qxyzdxyzd上半空间的电场强度：电位：•导体表面感应电荷•导体表面上感应电荷总量•导体表面上感应电荷对点电荷的作用力02223/22π()SnzqdDExyd2223/2dddd2π()SSqxyqdxyqxyd22016πzqFad2线电荷对无限大接地导体平面的镜像将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为上半空间的电场待求场域中的电位yx0lhx00o(,,)Pxyzyhhll1r2rl(0)y201ln2πlrr1201022π2πllrrEaarr3点电荷对半无限大接地导体角域的镜像由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角为，而为整数时，该角域中的点电荷将有个个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解。当n=4时：该角域外有3个镜像电荷q1、q2和q3，位置如图所示。其中n123,,qqqqqq0360/1nn当n=6时：n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。角域外有5个镜像电荷，大小和位置如图所示。所有镜像电荷都正、负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷到顶点的距离。π3qπ3qqqqqq4.点电荷对导体球面的镜像设一点电荷q位于半径a为的接地导体球附近，与球心的距离为d，如图所示。待求场域为ra区域，边界条件为导体球面上电位为零。adqadqq设想在待求场域之外有一镜像电荷q′，位置如图所示。根据镜像法原理，q和q′在球面上的电位为零。点电荷与接地导体球周围的电场aa0121()04πcqqrr21rqqrqabqdaqabqdaaqqd2abd221/222241/2014π(2cos)(2cos)qardrddrdraaadqqc1r2rb在球面上任取一点c，则MN(,)r空间任意点的电位：(,)r导体球不接地：aqqd2abdaqqqda—a导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷q″=－q′abqq(,,)rpr2r1rqd221/222241/2014π(2cos)(2cos)qaardrddrdraadr004π4πqqad球外任一点电位：球面上任一点电位：为了保证球面为等位面的条件，镜像电荷q″应位于球心处。例3：有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各有一点电荷q1和q2，与球心距离分别为d1和d2，如图所示。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。球壳外：边界为r=a2的导体球面，边界条件为根据球面镜像原理，镜像电荷的位置和大小分别为球壳外区域任一点电位为2a2d2qo2b2q1rr2r(,,)r2(,,)0a2221/222241/2022222214π(2cos)(2cos)aqrdrddrdraa外2q2222abd2222aqqd2a2d2q1q1a1d解：球壳内：边界为r=a1的导体球面，边界条件为根据球面镜像原理，镜像电荷的位置和大小分别为球壳内区域任一点电位为球壳中：球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。1(,,)0a1q2111abd1111aqqd221/2011122241/2111114π(2cos)(2cos)qrdrdadrdraa内用镜像法解题时，一定要注意待求区域及其边界条件，对边界以外的情况不予考虑。1a1d1q1q1b5线电荷对导体圆柱面的镜像待求区域：边界条件：柱面上电位为零设想镜像线电荷位于对称面上，且与圆柱轴线距离为b，则导体柱面上任一点的电位表示为其中：ral1200lnln2π2πllrr面2212cosradad2222cosrabab00ln()ln()2π2πllMdaab00ln()ln()2π2πllNdaabll201ln2πlrcr2212cosrrddr2222cosrrbbr2abd两平行线电荷的电位分布在柱面上取两个特殊点M和N，则空间电位为：其中：四、分离变量法理论基础惟一性定理分离变量法的主要步骤–根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。–经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解，其中含有待定常数。–利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条件的特解。1.直角坐标系中二维拉普拉斯方程分离变量法本征方程的求解(1)当时22220xy(,)()()xyXxYy22221d()1d()0()d()dXxYyXxxYyy本征函数2221d()()dxXxkXxx2221d()()dyYykYyy220xykk0xykk01020()XxAxA01020()YyByB110201020(,)()()xyAxAByB本征方程本征值212121(,)(cossin)(coshsinh)mmmmmmmmmxyAkxAkxBkyBky(2)当时，设20xk(1,2,,)xmkkmjj12()eemmkxkxmmmXxAA12()eemmkykymmmYyBB或222d()()dmXxkXxx222d()()dmYykYyy220xykk由ymkjk本征方程为：则：1212()cossin()coshsinhmmmmmmmmmmXxAkxAkxYyBkyBky312121(,)(coshsinh)(cossin)mmmmmmmmmxyAkxAkxBkyBky12()eemmkxkxmmmXxAAjj12()eemmkykymmmYyBB1212()coshsinh()cossinmmmmmmmmmmXxAkxAkxYyBkyBky(3)当时，设20xkj(1,2,,)xmkkm220xykk由ymkk222d()()dmXxkXxx222d()()dmYykYyy本征方程为：或则：应用叠加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的通解102010201212112121(,)()()cossincoshsinhcoshsinhcossinmmmmmmmmmmmmmmmmmmxyAxAByBAkxAkxBkyBkyAkxAkxBkyBky三种解的特点：第一种解中，X(x)和Y(y)为常数或线性函数，说明它们最多只有一个零点；第二种解中，X(x)为三角函数，有多个零点，Y(y)为双曲函数，最多只有一个零点；第三种解中，X(x)为双曲函数，最多有一个零点，而Y(y)为三角函数，有多个零点。解:选直角坐标系，电位函数满足二维拉普拉斯方程边界条件：例：一接地金属槽如图所示，其侧壁和底壁电位均为零，顶盖与侧壁绝缘，其电位为U0，求槽内电位分布。22220(1)xy