2015年三明市高三质检理科数学试题含答案(word版)

高三理科数学试题第页（共6页）12015年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据1x，2x，…，nx的标准差锥体体积公式222121()()()nsxxxxxxn…13VSh其中x为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式球的表面积、体积公式VSh24SR，343VR其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合|10AxxxxR，，|22BxxxR，，那么AB等于A．B．|01xxxR，C．|22xxxR，D．|21xxxR，2．已知样本M的数据如下：80，82，82，84，84，84，86，86，86，86，若将样本M的数据分别加上4高三理科数学试题第页（共6页）2后得到样本N的数据，那么两样本M，N的数字特征对应相同的是A．平均数B．众数C．标准差D．中位数3．已知函数22()log(1)log(1)fxxx，则()fx是A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数也是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数4．已知数列na的前n项和21nnS，则数列2{}na的前10项和为A．1041B．102(21)C．101(41)3D．101(21)35．设平面与平面相交于直线m，直线1l在平面内，直线2l在平面内，且2l⊥m，则“1l⊥2l”是“⊥”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知三棱锥的底面是边长为a的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，若侧视图的面积为34，三棱锥的体积为14，则a的值为A．34B．32C．34D．17．已知Ra，那么函数()cosfxaax的图象不可能是ABCD8．已知函数2110,()(1)1,0,xxfxfxx，将函数()()1gxfxx的零点按从小到大的顺序排列，构成数列{}na，则该数列的通项公式为A．1nanB．nanC．(1)nannD．an＝2n－2Oyx-112ππOyx-112ππOyx-112ππOyx-112ππ高三理科数学试题第页（共6页）39．已知区域11,(,)|11xxyy，区域||1{(,)|0e,[1,1]}2xAxyyx，在内随机投掷一点M，则点M落在区域A内的概率是A．11(1)2eB．11(1)4eC．1eD．11e10．若曲线()yfx在点11(,)Axy处切线的斜率为Ak，曲线()ygx在点22(,)Bxy处切线的斜率为Bk（12xx），将||||ABkkAB的值称为这两曲线在A，B间的“异线曲度”，记作(,)AB．现给出以下四个命题：①已知曲线3()fxx，2()1gxx，且(1,1),(2,3)AB，则2(,)2AB；②存在两个函数()yfx，()ygx，其图像上任意两点间的“异线曲度”为常数；③已知抛物线2()1fxx，2()gxx，若120xx，则25(,)5AB；④对于曲线()exfx，()exgx，当121xx时，若存在实数t，使得(,)1tAB恒成立，则t的取值范围是[1,)．其中正确命题的个数是A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．二项式10()xa的展开式中，7x的系数是15，则实数a＝_____．12．某学校为调查高中三年级男生的身高情况，选取了500名男生作为样本，右图是此次调查统计的流程图，若输出的结果是380，则身高在170cm以下的频率为＿＿＿＿＿．13．若命题“2[1,2],20xxaxa”为假命题，则实数a的取值范围是．14．过双曲线22221xyab(0,0)ab的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为．开始S＝0T＝0输入xx≥170?S=S+1T=T+1T≥500？输出S结束否是否是高三理科数学试题第页（共6页）415．如图，三条平行直线12,,lll把平面分成①、②、③、④四个区域（不含边界），且直线l到12,ll的距离相等．点O在直线l上，点AB,在直线1l上，P为平面区域内的点，且满足1212(,)OPOAOBR．若P所在的区域为④,则12的取值范围是是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）已知集合1,1,2,3A，从A中随机抽取两个不同的元素ab,，作为复数izab(i为虚数单位)的实部和虚部．（Ⅰ）求复数z在复平面内的对应点位于第一象限的概率；（Ⅱ）设2||z，求的分布列及其数学期望E.17．（本小题满分13分）如图1，在矩形ABCD中，2AB，1BC，将ACD!沿矩形的对角线AC翻折，得到如图2所示的几何体DABC，使得BD＝3．(Ⅰ)求证：ADBC；(Ⅱ)若在CD上存在点P，使得12PABCDABCVV，求二面角PABC的余弦值．18.（本小题满分13分）已知点3(,)2Pcc在以(,0)Fc为右焦点的椭圆2222:1(0)xyabab上，斜率为1的直线m过点F与椭圆交于AB,两点，且与直线:4lxc交于点M．(Ⅰ)求椭圆的离心率e；(Ⅱ)试判断直线PA，PM，PB的斜率是否成等差数列？若成ABCDPDCBA图1图2高三理科数学试题第页（共6页）5等差数列，给出证明；若不成等差数列，请说明理由．19．（本小题满分13分）如图是某种可固定在墙上的广告金属支架模型，其中6AD，C是AB的中点，π3BCD，设BAD，且ππ(,)93．(Ⅰ)若π4，求AB的长；(Ⅱ)求BD的长()f，并求()f的最小值；(Ⅲ)经市场调查发现，某地对该种金属支架的需求量与有关，且需求量()g的函数关系式为()4sin66g（单位：万件），试探究是否存在某种规格的金属支架在当地需求量为零？并说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)fxaxx()aR．（Ⅰ）当2a时，求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）当[0,)x时，函数()yfx图象上的点都在0,0xxy所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．（Ⅲ）将函数()yfx的导函数．．．的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单位，得到函数()ygx的图象，试证明：当12a时，[()]()22nnngxgx()nN．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵10aMb（0,0ab）．（Ⅰ）当2,3ab时，求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量；θDCBA高三理科数学试题第页（共6页）6（Ⅱ）当ab时，曲线22:1Cxy在矩阵M的对应变换作用下得到曲线C：2210xxy，求a的值．（2）（本小题满分7分)选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为3,5415xtyt(t为参数)．以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若(,)Pxy是直线l与曲线C的内部的公共点，求xy的取值范围．（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知不等式|2|1x的解集与不等式220xaxb的解集相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数()3154fxaxbx的最大值及取得最大值时x的值．高三理科数学试题第页（共6页）72015年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学试题参考答案及评分标准一．选择题：1—5BCACB6—10DDABC二、填空题：11．12；12．0.24；13．1(,)3；14．2；15．(,1)；三．解答题：16．解：（Ⅰ）从集合A中随机抽取两个不同的元素ab,，组成复平面内的对应点有2412A种，其中位于第一象限的点有236A种，所以所求的概率为12.……………………6分（Ⅱ）222=zab,=2,5,10,13．……………………7分1(2)6P,1(5)3P，1(10)3P，1(13)6P．251013P16131316……………………11分∴11111525101363362E.……………………13分17．解：（Ⅰ）当3BD时，1AD，2AB，∴ADBD，又ADDC，∴AD平面BCD，而BC平面BCD，∴ADBC．……………………5分（Ⅱ）如图，以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）知ADBC，又ABBC，∴BC平面ABD，高三理科数学试题第页（共6页）8∵BC平面ABC，∴平面ABD⊥平面ABC，过D作DHAB，则DHz∥轴，……………………7分在RtABD!中，1AD，2AB，可得13,22AHBH．故33(0,,)22D，∵12PABCDABCVV，∴P为DC中点，∴133(,,)244P．设平面PAB的法向量为(,,)xyzn，则0,0,BABPnn∴(,,)(0,2,0)0,133(,,)(,,)0,244xyzxyz即0,130,24yxz……………9分取2z，则(3,0,2)n，又平面ABC的法向量为(0,0,1)m，………11分则cos,mn＝||||mnmn＝277．故二面角PABC的余弦值为277．……………………13分18．解：（Ⅰ）因为点3(,)2Pcc在椭圆2222:1xyab上，所以2222914ccab.整理得，422441740aacc，即4241740ee，解得12e或2e(舍)，所以离心率12e.……………………5分（Ⅱ）直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，证明如下：由(Ⅰ）知，2,3acbc，∴椭圆222:3412Exyc直线m的方程为yxc．代入椭圆方程并整理，得227880xcxc.……………………6分设1122(,),(,)AxyBxy，直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，则有2121288,77ccxxxx.……………………8分可知M的坐标为(4,3)cc．所以1213123322ycyckkxcxc212122121272()521()xxcxxcxxcxxc