第三章几何非线性

第三章几何非线性大应变，大位移与大旋转特性October17,20003-2几何非线性–5.7版本什么是几何非线性？•变形体几何形态的改变将明显影响物体的载荷－位移（如刚度）特性。•几何非线性并不只是指大位移，而且还包括几何状态改变所引起的任何结构响应的变化。它包括大应变、大位移和大旋转。October17,20003-3几何非线性–5.7版本几何非线性特性•如果一个单元的形状发生改变（面积、厚度等），它本身的单元矩阵会发生改变。•如果一个单元的取向改变，它的单元刚度向整体刚度的转换矩阵将发生变化。XYXYOctober17,20003-4几何非线性–5.7版本几何非线性特性（续)•如果单元应变产生了明显的面内应力(膜应力)，垂直于面的刚度会明显受影响。XYP•随着垂直位移的增加(Y)，大的膜应力(SX)导致刚化响应。UYPOctober17,20003-5几何非线性–5.7版本几何非线性例子(a)初始形状(b)显示静水压力的变形形状容器的运动•这是一个大应变分析的例子，一个轴对称的橡胶密封件受压缩。分析包括接触，当密封件折叠时会发生自身接触。October17,20003-6几何非线性–5.7版本几何非线性例子(续)•此例显示了绕轴线捆扎一根钢条。将金属弯曲成不同的形状是生产中常见的操作。在此例中，应变达到25%，顶端旋转接近270度！XYZ初始形状变形形状October17,20003-7几何非线性–5.7版本几何非线性问题的复杂性•追随力•非线性应力应变度量•一致的非线性刚度矩阵•材料非线性•不可压缩性•网格扭曲October17,20003-8几何非线性–5.7版本注意当结构经历大位移与旋转时，载荷发生了什么变化。•在许多情况下，载荷将在变形过程中保持一致的方向。•在另一些情况下，承受大旋转时，力将“追随”单元改变方向。这两种情况ANSYS都可模拟，取决于施加载荷的类型。追随力与载荷方向October17,20003-9几何非线性–5.7版本载荷方向加速度与集中力：•保持它们的初始方向，忽略单元取向。表面压力载荷：•随单元旋转，因此总是垂直于变形单元的表面（这些是真正的追随力）。•更新压力表面以计算大应变效应。因此，对于施加的常压力，总压力载荷将随表面积的改变而改变。October17,20003-10几何非线性–5.7版本载荷方向(续)载荷位移前的方向位移后的方向加速度节点力单元压力October17,20003-11几何非线性–5.7版本什么是大应变？•大应变分析设定应变不再是无限小的，而是有限的或相当大的。•当应变超过一定百分比及不能忽视几何形状的改变时，可认为是大应变。•大应变理论考虑了形状的改变（例如厚度，面积等等）及任何大旋转。October17,20003-12几何非线性–5.7版本定义应变的要求•应变是我们描述物体变形的手段。尽管在一定程度上应变的数学定义可以任意，但它仍必须满足一些要求。October17,20003-13几何非线性–5.7版本定义应变的要求(续)•无变形时应变为零，有变形时不为零。•通过材料的应力应变关系联系应力和应变。•如果材料旋转大，但发生的是刚体位移，则应变为零。October17,20003-14几何非线性–5.7版本应力与应变定义相对应•对应于度量物体变形的应变，应力度量了物体单位面积上的力。•尽管使用的应变可以是任意形式的，但使用的应力应与已定义的应变相关。October17,20003-15几何非线性–5.7版本应力应变的共轭性•在非线性大应变分析中使用的应力必须与应变共轭。•共轭性是指应力应变相乘时，得到的是一个标量（应变能），其值与选择的应力应变无关。October17,20003-16几何非线性–5.7版本一维问题中的应力应变定义•我们将通过一个简单的一维例题检查不同的应力应变定义。Fll0lOctober17,20003-17几何非线性–5.7版本工程应变•工程应变是小（无穷小）应变度量，使用初始的几何构形计算。•工程应变取决于初始长度，如，初始长度是事先已知的，所以工程应变是线性的。•工程应变的应用局限于材料小旋转，中等大小的刚体旋转将导致非零应变。0llolOctober17,20003-18几何非线性–5.7版本•工程应变的共轭应力为工程应力，工程应力的计算是当前的力除以初始面积。F0A0AF工程应力October17,20003-19几何非线性–5.7版本一维问题中，对数应变由下面公式计算：对数应变是非线性应变，因为它是未知的最终长度的非线性函数。它同样可称为log应变。三维等效对数应变是Hencky应变。在大应变问题中，对数应变并不能自动适应任意大的旋转。对数应变l0llLnldllllolOctober17,20003-20几何非线性–5.7版本真实应力或Cauchy应力与对数应变共轭的一维应力是真实应力,真实应力的计算是当前的力除以当前（或变形的）面积：真实应力通常也称为Cauchy应力。lFAFAOctober17,20003-21几何非线性–5.7版本Green-Lagrange应变一维的Green-Lagrange应变由下面的公式计算：此应变是非线性的，因为它取决于未知的更新长度的平方。此种应变优于对数应变或Hencky应变之处在于，它可自动适应大应变问题中的任意大旋转。G2020221lllGllOctober17,20003-22几何非线性–5.7版本第二Piola-Kirchhoff应力Green-Lagrange应变的共轭应力是第二Piola-Kirchhoff应力。它的一维计算公式为：需要注意的是此种应力几乎无实际意义。为了输出，ANSYS总是将其转化为Cauchy应力或真应力输出。S00AFllSGOctober17,20003-23几何非线性–5.7版本AA0P将非线性应变定义扩展至一般的三维情况•在二维或三维问题中，当物体承受大应变变形时，不只长度发生改变，而且厚度、面积与体积都发生改变。October17,20003-24几何非线性–5.7版本运动与变形•当物体承受一些外载时，它将移动和变形。•如果我们观察物体上一个点的运动，它的初始位置是，最终位置是，它运动的量为XYXuxXxuXxuOctober17,20003-25几何非线性–5.7版本变形梯度变形梯度是物体变形多少的一个度量，它的定义是：变形梯度包含的信息有：•体积的改变•旋转•由于应变造成的形状改变FXxFOctober17,20003-26几何非线性–5.7版本变形梯度•注意定义时，变形梯度消除了平动；这是应变定义的必要条件。•在定义应变时，同样希望排除旋转部分（因为它对应变无贡献），并孤立出形状改变部分。可使用极分解理论完成这项工作。FOctober17,20003-27几何非线性–5.7版本极分解•变形梯度可使用极分解理论分解成一个旋转部分和一个应变部分：=旋转矩阵包含的信息为材料点作为刚体旋转的大小与方向=拉伸矩阵包含的信息为物体在材料点处的应变FURFRUOctober17,20003-28几何非线性–5.7版本•在已知拉伸矩阵的情况下，可导出一维对数应变与一维Green-Lagrange应变的三维一般形式。UUlG在定义应变时使用October17,20003-29几何非线性–5.7版本Hencky应变对数（Hencky）应变可由下式计算：这里是以矩阵形式表示的应变张量。在这种情况下，是一维对数应变或真实应变的三维等效量。HHUHlnlOctober17,20003-30几何非线性–5.7版本Green-Lagrange应变在三维问题中，Green-Lagrange应变可直接由拉伸矩阵计算出，如下式所示：这种应变在计算时直接忽略了旋转矩阵。可以变形梯度的形式写出，如下式所示：前两项是线性小应变项，最后一项是应变的非线性项。IUUTG21UXuXuXuXuTTGRGOctober17,20003-31几何非线性–5.7版本ANSYS使用何种非线性应变？•在ANSYS程序中，使用什么样的应变（如Hencky应变或Green-Lagrange应变）主要取决于材料定律：–对于大应变塑性分析，ANSYS使用对数（Hencky）应变；应力应变数据以真应力－对数应变形式给出。–对于大应变超弹性与粘－弹性分析，ANSYS使用Hencky应变或Green-Lagrange应变，这取决于使用的单元类型。October17,20003-32几何非线性–5.7版本将非线性应力的定义扩展至三维问题•正如在一维问题中一样，对应于二维、三维问题中定义的非线性应变，都可定义与其共轭的应力。October17,20003-33几何非线性–5.7版本•Cauchy或真应力张量（以矩阵形式写出）给出了在变形后构形每单位变形面积上的当前力。如果我们让•在三维问题中，Cauchy应力张量通过下式联系与•Cauchy应力是一个有实际意义的量。=变形体中定义单元面积的矢量=对应的作用于面积上的单元力dAdPdAdPdAdPdACauchy应力October17,20003-34几何非线性–5.7版本第二Piola-Kirchhoff应力•让代表从位移中导出的力•让•第二Piola-Kirchhoff应力张量使用下式联系与•是对称的应力张量，它经常用于有限应变弹性公式，它是Green-Lagrange应变的共轭应力张量。是一个无实际意义的应力张量（假想应力张量）。=在未变形物体中定义单元面积的矢量，这里PdˆdPFPd1ˆ0dAdAdAndeformatio0SPdˆ0dA0ˆdASPdSGSOctober17,20003-35几何非线性–5.7版本与之间的关系•有实际意义的Cauchy应力可通过下式与无实际意义的第二Piola-Kirchhoff假想应力建立直接的联系：SSTFSFFdet1October17,20003-36几何非线性–5.7版本在非线性分析中ANSYS使用何种应力？•为了确保应力与应变共轭，在ANSYS非线性分析中使用的应力度量（如Cauchy或第二Piola-Kirchhoff应力）取决于应变度量。–当使用Hencky（对数）应变时使用Cauchy应力。–当使用Green-Lagrange应变时使用第二Piola-Kirchhoff应力。October17,20003-37几何非线性–5.7版本输入时ANSYS需要何种应力应变？•对于大应变塑性分析（NLGEOM,ON），ANSYS需要真实应力应变曲线，而对于小应变分析（NLGEOM,OFF），ANSYS需要工程应力应变数据。•但是，对于小应变响应，工程应变与对数（真）应变几乎一样。真实应力与对数应变数据可用于一般塑性分析。•对于超弹性分析ANSYS需要工程应力应变数据来计算Mooney-Rivlin常数。October17,20003-38几何非线性–5.7版本应力应变间的转化1lnl1•对于单轴应力应变数据，工程应力应变可通过下式转化为真实应力与对数应变•注意上面的应力转化假设承受大应变的材料是不可压缩的或近似不可压缩的。这种假设对于大塑性应变或超弹性材料适用。October17,20003-39几何非线性–5.7版本ANSYS输出采用何种应力形式？•不管数值计算中使用的哪种应力（Cauchy应力或第二Piola