第三章动量与角动量

第3章动量和角动量一、动量和冲量动量定理二、质点系的动量定理动量守恒定律三、质心质心运动定律四、质点的角动量五、角动量定理和角动量守恒定律一、动量和冲量动量定理1、动量vmP大小：21ttdtF方向：由力的性质决定单位：Ns2、冲量I21ttdtFI＝大小：mv方向：速度的方向单位：kgm/sF为恒力时，可以得出I＝Ft（描述质点运动状态，矢量）（力的作用对时间的积累，矢量）2112ttdtFPPIvm-vmPdtFItt1221＝质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量。这个结论称为质点的动量定理。2121ttPPdtFPddtFPddtPdF3、动量定理：（将力的作用过程与效果〔动量变化〕联系在一起）dtvmddtvdmF)(例：在一次物理竞赛中，赛题是从桌角A处向B发射一个乒乓球，让竞赛者在桌边B处用一只吹管将球吹进球门C（见本题图），看谁最先成功。某生将吹管对准C拼命吹，但球总是不进球门。试分析该生失败的原因。吹管ABC1vm2vm2vmIyyyymvmvdtFI12注意：动量为状态量，冲量为过程量。动量定理可写成分量式，即：tt0FxFxxxxxmvmvdtFI12tFxtFy-1221vmvmdtFItt例1.一重锤从高度h=1.5m处自静止落下，锤与被加工的工件碰撞后末速为0。如打击时间△t为10-1s、10-2s、10-3s、10-4s，试计算这几种情形下平均冲击力与重力的比值。解：根据质点动量定理有：hz选取如图所示的z坐标。重锤m与工件撞击前的速度，撞击后的速度vz=0。在撞击时间△t内，重锤受工件的冲击力N和重力mg。ghv20ghmmvmvdtN-mgzt200)(计算结果表明，撞击作用持续时间愈短，平均冲击力N与重力之比就愈大。若作用的持续时间只有10-4秒时，N比mg要大5500倍，相比之下重力微不足道。因此，在许多打击和碰撞问题中，只要持续作用时间足够短，略去诸如重力这类有限大小的力是合理的。ghmtmgtN2t.ghtmgN55012116.5565.5×1025.5×103△t为10-1s、10-2s、10-3s、10-4s例2.图示一圆锥摆，质量为m的小球在水平面内以角速度w匀速转动。在小球转动一周的过程中，（1）小球动量增量的大小等于0（2）小球所受重力的冲量的大小等于（3）小球所受绳子拉力的冲量大小等于w2mgtmgw2mg·mw二、质点系的动量定理动量守恒定律•两个质点的系统:11Ffm1、质点系的动量定理22:Ffm11112111-)(21vmvmPdtfFtt＝21222222-)(21vmvmPdtfFtt＝质点系（内力f、外力F）·······iFjFijfjifij-ff)()(212121PPdtffFFtt＝)()(212121PPdtFFtt＝•推广到n个质点的系统iittiiPdtF)()(21由于内力总是成对出现的，所以内力矢量和为零。所以：以F和P表示系统的外力矢量和与总动量，即iFFiPP上式可写为：PdtFtt211221iiiittvmvmPdtF积分形式所以有质点系的动量定理：微分形式PddtFdtPdF2、质点系动量守恒定律一个质点系所受的外力矢量和为零时，这一质点系的总动量就保持不变。0F若常矢量即iiiiivmPP0P有1221iiiittvmvmPdtFxiixiittxvmvmdtF1221yiiyiittyvmvmdtF1221动量定理分量形式xiixiittxvmvmdtF1221yiiyiittyvmvmdtF1221由动量定理分量形式可得动量守恒定律分量形式：(即某一方向的动量守恒定律)常量则若ixiixxxvmPFP0注意：1、动量守恒定律只适用于惯性系。2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。3、系统动量守恒条件为外力矢量和为零，也可放宽为外力与内力相比小很多的情形，如在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力。4、某一方向上的动量守恒如：在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）（A）总动量守恒。（B）总动量在任何方向的分量均不守恒。（C）总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒。[C]解：m和M组成的系统水平方向上动量守恒xxmvMV0XdtVxxxvmVmM)()(mMmRXMmxxxxVvv而例3：质量为M、半径为R的圆弧形槽停在光滑水平面上，小物体m自槽顶静止下滑，求当m滑至槽底时，M在水平面上移动的距离。Rdtvx三、质心、质心运动定律定义质心的位矢：mrmmrmrNiiiNiiNiiic1111、质心：质点系的质量中心xmirircyzo质点系N个质点质量：m1m2…mi…mNNirrrr21位矢：(m为总质量)对称物体的质心就是物体的对称中心。直角坐标系中的分量式为：mzmmymmxmxiiiciiiciiiczy例4.任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。xyo（x1，y1）x2332121xxmmxmxxc3311ymmyyc解：质量连续分布时：dmzdmzdmydmydmxdmxcccdm为质量元，简称质元。其计算方法如下：dldmdsdmdVdm质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布面分布体分布例5.一段均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求此半圆形铁丝的质心。解：选如图坐标系，取长为dl的铁丝，质量为dm，以λ表示线密度，dm=dl.分析得质心应在y轴上。mydlyc注意：质心并不在铁丝上。2021sin1RmRdRmycRyRmc2RddlsinRy2、质心运动定律ciiicvmPPvmvm质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动速度的乘积。dtrdvccmrmriiicmrmriiic质心位移：质心速度：)(mxmxiiic或iiidtrdmm1iiivmm1dtPdF质心运动定律：系统的总质量和质心加速度的乘积等于质点系所受外力的矢量和。camFdtvdmccamciiicvmPPvmvmcxxmaFcyymaF0xF0cxa若则简化复杂运动的分析例6.（利用质心运动定理重解例3）质量为M、半径为R的圆弧形槽停在光滑水平面上，小物体m自槽顶静止下滑，求当m滑至槽底时，M在水平面上移动的距离。mrmriiicmxmxiiic00XMxm即XxxRx而)(mMmRXMmx四、质点的角动量morPLθvmPvrm、、、质点：注意：作圆周运动的质点对圆心的角动量大小L＝rmv=mr2wPLro大小：L＝rmvsin方向：右手螺旋定则判定单位：kgm2/s定义质点对点o的角动量LvmrPrL例7、一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标下的矢径为：jtbitarˆsinˆcosww其中a、b、w皆为常数，求该质点对原点的角动量。jtbitarˆsinˆcoswwjtbitadtrdvˆcosˆsinvmrL解：已知kˆtsinmabkˆtcosmabkˆmabw五、角动量定理和角动量守恒定律1、角动量定理PrLdtLdFrvmvdtLdvmpvdtrdFdtPd由得)(PrdtddtPdrPdtrd称：FrM为质点所受合外力对同一固定点o的合外力矩0＝vmv大小：M＝Frsin(为矢径与力之间的夹角)方向：右手螺旋定则单位：mN角动量定理：质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。FrMoMFrdtLddtLdMFrvmvdtLd2、角动量守恒定律dtLdM如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。注意：0,0dtLdM则如果＝常矢量即L1、这也是自然界普遍适用的一条基本规律。2、M＝0，可以是F=0，还可能是r与F同向或反向（例如有心力情况）。例8:质量为0.05kg的小块物体，置于一光滑水平桌面上。有一绳一端连接此物，另一端穿过桌面中心的小孔（如图所示）。该物体原以3rad/s的角速度在距孔0.2m的圆周上转动。今将绳从小孔缓慢往下拉，使该物体之转动半径减为0.1m。则物体的角速度w12rad/s例9:(学习指导典型例题3)我国的第一颗人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，地球的中心O为该椭圆的一个焦点。已知地球的平均半径R=6378km，卫星距地面最近距离l1=439km，最远距离l2=2384km。若卫星在近地点速率v1=8.10kms-1，求远地点速率v2。解：卫星在运动中仅受地球的引力（其他引力比此小得多，可忽略），该引力始终指向地心O，因而对O的外力矩为零，所以卫星对O的角动量守恒。卫星在近地点的角动量)(111lRmvL)(222lRmvL12122211)()(vlRlRvlRmvlRmv卫星在远地点的角动量因角动量守恒代值得v2=6.30kms-11.质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为45o和30o，求：乒乓球得到的冲量.45o30onv2v145o30onv2v1Oxy解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为则有：F12vmvmdtFI取坐标系，将上式投影，有：)45(3012cosmvcosmvdtFIxx453012sinmvsinmvdtFIyy2.5gm/s20m/s100.01s21mvvtN7.0N1.6yxFFtFxtFy6.541148.0tanxyIINs1014.6222yxIIINs007.0Ns061.0yxII为I与x轴正方向的夹角。2.炮车以仰角发射一炮弹，炮弹与炮车质量分别为m和M，炮弹相对于炮筒出口速度为v，不计炮车与地面间的摩擦，则炮弹出口时炮车的反冲速度大小为多少？)cos(0VvmMVmMmvVcos3.一块很长的木板，下面装有活动轮子，静止的置于光滑的水平面上，如图。质量为mA和mB的两个人A和B站在板的两头，他们由静止开始相向而行。若mAmB，A和B对地的速度大小相同，问木板将如何运动？1.向左运动2.向右运动3.静止不动4.不能确定[2.向右运动]0车车vmvmvmBBAABAvv0车车vmvmmBAB)(0车车对车）（vmmmvmmABBAB)(对车车车BABABvmmmmmv车对车vvvBB[2.向右运动]BAxx对车车车BABABxmmmmmx0车车xmxmxmBBAABAvv0)(