单位圆与周期性(北师大版)

高中数学·必修4·北师大版4.2单位圆与周期性[学习目标]1．掌握正弦、余弦函数的定义，理解正弦函数、余弦余数都是周期函数．2．会利用正、余弦函数的周期性把求任意角的正、余弦值转化为0°～360°求值．[知识链接]设f(x)＝sinx，请判断以下说法是否成立，并说明理由．(1)当x＝π4时，fx＋π2＝f(x)；(2)当x＝π3时，fx＋π2＝f(x)；(3)T＝π2是函数f(x)＝sinx的周期．答(1)当x＝π4时，sinπ4＋π2＝sinπ4＝22成立．(2)不成立．当x＝π3时，sinπ3＋π2＝12；sinπ3＝32，fx＋π2≠f(x)．(3)T＝π2不是函数f(x)＝sinx的周期，周期函数的定义是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)不能说T是f(x)的周期．[预习导引]1．三角函数的定义域正弦函数y＝sinx的定义域是R；余弦函数y＝cosx的定义域是R.2．正、余弦函数的周期性sin(α＋k·2π)＝，k∈Z；cos(α＋k·2π)＝，k∈Z.由此我们可以得到如下结论：(1)正弦函数、余弦余数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期．(2)终边相同的角的同一三角函数的值．sinαcosα相等3．周期函数的有关概念(1)周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在实数T，任取定义域内的任意一个x值，都有＝f(x)，那么函数f(x)就称为周期函数，T称为这个函数的．(2)最小正周期2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．非零f(x＋T)周期要点一单位圆及其应用例1根据下列三角函数值，作出角α的终边，然后求角α的取值集合．(1)sinα＝12；(2)cosα＝12.解(1)已知角α的正弦值，可知P点纵坐标为12.所以在y轴上取点0，12.过这点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的集合为{α|α＝2kπ＋π6或α＝2kπ＋5π6，k∈Z}．(2)因为角α的余弦值为12，所以在x轴上取点12，0，过该点作x轴的垂线，交单位圆于P1、P2两点，OP1，OP2是所求角α的终边，α的取值集合为{α|α＝2kπ±π3，k∈Z}．规律方法(1)确定已知角的终边，对于以后研究三角函数很有用处．(2)利用单位圆，可以非常直观方便地求出形如sinx≥m或sinx≤m的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用．跟踪演练1在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：(1)sinα≥32；(2)cosα≤－12.解(1)作直线y＝32交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋23π，k∈Z}．(2)作直线x＝－12交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为α|2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z要点二利用周期求值例2求下列角的三角函数值．(1)cos(－1050°)；(2)cos193π；(3)sin(－314π)．解(1)∵－1050°＝－3×360°＋30°，∴－1050°的角与30°的角终边相同，∴cos(－1050°)＝cos30°＝32；(2)∵193π＝3×2π＋π3，∴角193π与角π3的终边相同，∴cos193π＝cosπ3＝12；(3)∵－314π＝－4×2π＋π4，∴角－314π与角π4的终边相同，∴sin(－314π)＝sinπ4＝22.规律方法利用周期性可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角的三角函数值．跟踪演练2求下列各式的值．(1)sin－154π＋cos253π＋cos(－103π)；(2)sin810°＋cos765°－sin1125°＋cos180°＋sin(－2010°)．解(1)原式＝sin－4π＋π4＋cos8π＋π3＋cos－4π＋23π＝sinπ4＋cosπ3＋cos23π＝22＋12＋－12＝22.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋cos(2×360°＋45°)－sin(3×360°＋45°)＋cos180°＋sin(－6×360°＋150°)＝sin90°＋cos45°－sin45°＋cos180°＋sin150°＝1＋22－22＋(－1)＋12＝12.要点三周期求法例3求下列三角函数的周期：(1)y＝3cosx，x∈R(2)y＝sin2x，x∈R(3)y＝2sin12x－π6，x∈R.解(1)∵3cos(x＋2π)＝3cosx，∴自变量x只要并且至少要增加到x＋2π，函数y＝3cosx，x∈R的值才能重复出现，所以，函数y＝3cosx，x∈R的周期是2π.(2)∵sin(2x＋2π)＝sin2(x＋π)＝sin2x，∴自变量x只要并且至少要增加到x＋π，函数y＝sin2x，x∈R的值才能重复出现，所以，函数y＝sin2x，x∈R的周期是π.(3)∵2sin12x＋4π－π6＝2sin12x－π6＋2π＝2sin12x－π6，∴自变量x只要并且至少要增加到x＋4π，函数y＝2sin12x－π6，x∈R的值才能重复出现，所以，函数y＝2sin－12x－π6，x∈R的周期是4π.规律方法对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0时的周期求法常直接利用T＝2π|ω|来求解，对于y＝|Asinωx|的周期情况常结合图象法来求解．跟踪演练3求下列函数的周期：(1)y＝cos2x；(2)y＝sin－12x＋π3；(3)y＝|cosx|.解(1)T＝2π2＝π；(2)T＝2π－12＝4π；(3)T＝2π×12＝π.再见