2015高中数学2.1.2椭圆的简单几何性质课件新人教版选修1-1

2.1.2椭圆的简单几何性质课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引学习目标1.能根据椭圆的方程指出椭圆的范围、顶点和对称轴及对称中心.2.熟练掌握基本量a,b,c之间的关系及其几何意义.3.掌握离心率的概念及其几何意义,能够熟练地利用基本量求离心率和利用离心率求基本量.注意灵活地运用数形结合的思想,理解并运用椭圆的几何性质.4.会分析直线与椭圆的位置关系,能通过一元二次方程根与系数关系的应用,解决有关椭圆的简单综合问题.重点难点重点:1.利用椭圆的性质解题;2.判断直线与椭圆的位置关系,能求相交时的弦长.难点:直线与椭圆的综合问题的处理.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引1.椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引标准方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)范围-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤b顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)轴长长轴长=2a,短轴长=2b焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距|F1F2|=2c对称性对称轴是x,y轴,对称中心是(0,0)离心率e=ca(0e1)课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引预习交流1已知椭圆方程为𝑥225+𝑦29=1,则其长轴长为,短轴长为,焦距为,对称轴为,焦点坐标为,顶点坐标为,x的范围为,y的范围为,离心率为.提示:1068x轴和y轴(-4,0)和(4,0)(-5,0)和(5,0)(0,-3)和(0,3)-5≤x≤5-3≤y≤3e=45课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引2.离心率对椭圆扁圆程度的影响椭圆的离心率e越接近于1,则c就越接近于a,从而b=𝑎2-𝑐2越小,因此椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近于0,从而b越接近于a,因此椭圆越接近于圆.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引预习交流2如图所示,在椭圆中的△OF2B2中,能否找出a,b,c,e表示的线段或量?提示:a=|F2B2|,b=|OB2|,c=|OF2|,e=𝑐𝑎=|𝑂𝐹2||𝐹2𝐵2|=cos∠OF2B2.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引3.椭圆中常见的两个最值问题(1)椭圆上到中心距离最远和最近的点短轴端点B1和B2到中心O的距离最近;长轴端点A1和A2到中心O的距离最远.(2)椭圆上一点与焦点距离的最值(以焦点在x轴上的椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)为例说明)点(a,0),(-a,0)与焦点F1(-c,0)的距离,分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引预习交流3椭圆𝑥225+𝑦29=1上一点P到右焦点的最大距离为,最小距离为;点P到原点(0,0)的最大距离为,最小距离为.提示:9153课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引4.直线与椭圆的位置关系及判定设直线方程Ax+By+C=0,将直线与椭圆方程联立,消去y得关于x的一元二次方程mx2+nx+q=0(m≠0),则直线与椭圆的位置关系如下表所示:位置关系解的个数Δ的取值相交2解Δ0相切1解Δ=0相离0解Δ0课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引5.弦长公式设直线y=kx+b与椭圆的交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=1+𝑘2|x1-x2|=1+1𝑘2|y1-y2|(k≠0).课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引预习交流4直线y=x+2与椭圆𝑥2𝑎2+𝑦23=1(a0)有两个不同的交点,则a的取值范围是()A.a1B.a1且a≠3C.a3D.a0且a≠3提示:B课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测一、椭圆的简单几何性质活动与探究椭圆有哪些几何性质?答:1.对称性观察椭圆的图象,可以发现椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测2.范围如图,容易看出椭圆上点的横坐标的范围是-a≤x≤a,纵坐标的范围是-b≤y≤b.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测3.顶点在椭圆的标准方程𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)里,令x=0,得y=±b,这说明B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.同理,令y=0,得x=±a,这说明A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点.因为x轴、y轴是椭圆的对称轴,所以椭圆与它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做椭圆的顶点(如图).线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.4.离心率椭圆的焦距与长轴长的比,叫做椭圆的离心率.记作e=2𝑐2𝑎=𝑐𝑎.∵ac0,∴0e1.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测例1已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的长轴长为4,若以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切,则椭圆的焦点坐标为()A.(2,0),(-2,0)B.(0,2),(0,-2)C.(2,0),(-2,0)D.(0,2),(0,-2)思路分析:利用圆与直线y=x+2相切求出b,用平方关系求出c,从而确定焦点位置,求出焦点坐标.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测答案:A解析:∵圆与直线y=x+2相切,而圆心为(0,0),半径r=b,∴b=2.∴c2=a2-b2=2.∴c=2.又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的焦点坐标为(-2,0),(2,0).温馨提示:求解椭圆方程的基本量应用关系式a2=b2+c2.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测迁移与应用1.已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=45,则C的离心率为()A.35B.57C.45D.67答案:B课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测解析:如图所示,根据余弦定理,|AF|2=|BF|2+|AB|2-2|BF||AB|cos∠ABF,即|AF|=6,又|OF|2=|BF|2+|OB|2-2|OB||BF|cos∠ABF,即|OF|=5.又根据椭圆的对称性,|AF|+|BF|=2a=14,∴a=7,|OF|=5=c,所以离心率为57,故选B.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测2.求椭圆𝑥24+y2=1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.解:已知方程为𝑥24+𝑦21=1,所以,a=2,b=1,c=4-1=3,因此,椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a=4,2b=2,离心率e=𝑐𝑎=32,两个焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),椭圆的四个顶点是A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,-1),B2(0,1).课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测(1)已知椭圆的方程讨论其性质时,应先把椭圆的方程化成标准形式,找准a与b,才能正确地写出其相关性质.在求顶点坐标和焦点坐标时,应注意焦点所在的坐标轴.(2)椭圆的几何性质与椭圆的形状和位置的关系如下:①椭圆的焦点决定椭圆的位置;②椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度;③对称性是圆锥曲线的重要性质,椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点,是椭圆上的重要的特殊点,在画图时应先确定这些点.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测二、利用椭圆的几何性质求标准方程活动与探究如何利用椭圆的几何性质求标准方程?答:求椭圆标准方程需“先定型,再定量”.确定焦点所在的坐标轴.列出关于a,b,c的方程(组),解出a,b的值即可.若焦点所在的坐标轴不能确定,则需分类讨论.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测例2求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)过点(3,0),(0,5);(2)长轴长为20,离心率等于45;(3)焦距为6,在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直.思路分析:由已知条件求a,b,c的值,再写出椭圆方程,但要注意确定焦点位置.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测解:(1)由已知可确定焦点在y轴上,且a=5,b=3,∴椭圆的标准方程为𝑥29+𝑦225=1.(2)由已知2a=20,𝑐𝑎=45,∴a=10,c=8.则b2=a2-c2=36.∴椭圆的标准方程为𝑥2100+𝑦236=1或𝑥236+𝑦2100=1.(3)设椭圆的标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0),由已知,得c=3,b=3,∴a2=b2+c2=18,故所求椭圆的标准方程为𝑥218+𝑦29=1.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测技巧点拨:在求椭圆的标准方程时,要先确定焦点的位置,然后再求a,b,c的值.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测迁移与应用1.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则C的方程是()A.𝑥23+𝑦24=1B.𝑥24+𝑦23=1C.𝑥24+𝑦22=1D.𝑥24+𝑦23=1答案:D解析:由中心在原点的椭圆C的右焦点F(1,0)知,c=1.又离心率等于12,则𝑐𝑎=12,得a=2.由b2=a2-c2=3,故椭圆C的方程为𝑥24+𝑦23=1.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测2.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0);(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为3.解:(1)若椭圆的焦点在x轴上,设方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0),∵椭圆过点A(2,0),∴4𝑎2=1,a=2.∵2a=2·2b,∴b=1,∴方程为𝑥24+y2=1.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题