第08章 电磁波在各向异性介质中的传播

电磁场与电磁波理论基础电磁波在各向异性介质中的传播第八章电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播8.1晶体的介电张量和折射率椭球8.2光波在晶体中的传播8.3光波在晶体表面的反射和透射电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播本章讨论电磁波—光波在各向异性介质中的传播问题。光学各向异性晶体的物理属性是光波在晶体中传播会出现双折射、二向色性和旋光性等现象，同时还使光波具有偏振特性。宏观上讲，晶体所具有的各向异性本质上是电学上的各向异性。因此，作为电磁场理论的内容，本章从麦克斯韦方程组出发，介绍表征各向异性晶体的介电张量以及折射率椭球，然后讨论光波在晶体中的传播，并在此基础上简单介绍一些晶体光学器件。电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播8.1晶体的介电张量和折射率椭球一、晶体的介电张量在各向同性介质中0ePE在各向异性介质中0xexxexyexzxyeyxeyyeyzyzezxezyezzzPEPEPE可简记为(1)0ePχE(1)eχ称之为极化率二阶张量(1)exxexyexzeeyxeyyeyzezxezyezzχ记为或111213(1)212223313233eeeeeeeeeeχ电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播矢量P和E记为112233,xxyyzzPPEEPPEEPPEEPE矩阵方程可以写成求和形式301,1,2,3ieijjjPEi习惯记法为0,,1,2,3ieijjPEij电通密度矢量与电场强度矢量之间的关系为(1)(1)(1)(1)000erDEPIχEεEεE电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播式中(1)I为单位矩阵(1)100010001I而矩阵111213(1)(1)(1)(1)00212223313233erεIχε其中111213(1)212223313233rrrrrrrrrrε称之为相对介电张量，称之为介电张量(1)rε(1)ε电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播D与E的关系可写成矩阵形式111121312212223233132333DEDEDE或写成求和形式为31,1,2,3iijjjDEi这是描述各向异性晶体的物质方程之一电磁场能量密度为电场能量密度和磁场能量密度之和111222emDEBHDEBH电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播在无耗的情况下的能量连续性方程为0dwdtS将坡印廷矢量代入上式，则有SEHemdwdwdwdtdtdtSEHEHHE333111111222eiiiijjiijdwdddEDEEdtdtdtdtED而331112iijjjjiiijEEEE电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播1122mdwddtdtBHBHBHHH介质中无源的情况下,ttDBHEttdwdtEHHEHDBE故有3311miijjijdwEEdtEHDH由此得到3311eiijjijdwEEdt比较式后可得ijji电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播上式表明不论是具有对称性的晶体，或者是不具有对称性的其它介质，介电张量都是二阶对称张量，张量的9个分量中，有6个独立分量。这一对称性质是满足能量守恒定律的直接结果。因此，介电张量可改写成111213(1)122223132333ε相对介电张量形式为111213(1)122223132333rrrrrrrrrrε电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播二、折射率椭球由上一章，对于各向同性光学介质的折射率n与相对介电常数相联系rn对于各向异性光学晶体，其相对介电常数为二阶对称张量，介电张量表明光学晶体的折射率与方向有关并具有对称性，这种与方向有关并具有对称性的特性可用折射率椭球曲面来描述2221112223331212131323232221axaxaxaxxaxxaxx这就是折射率椭球曲面在空间任意取向的一般方程，方程的系数正好与二阶张量的元素有对应关系，这种对应关系反映的就是相对介电张量的对称特性和方向特性。(1)rε123,,xxx为三维空间正交坐标轴电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播如果取三维空间正交坐标轴与折射率椭球曲面的三个主轴重合，相对介电张量取对角化形式1(1)23000000rrrrε折射率椭球曲面方程就可以简化为标准椭球曲面方程2223122221231xxxnnn式中112233,,rrrnnn就是折射率椭球曲面三个主轴的半轴、和称之为晶体的主折射率1n2n3n电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播相应的物质方程可简化为111222333000000DEDEDE式中101202303,,rrr介电张量可简化为1(1)23000000ε123若123nnn则具有这种性质的晶体称之为双轴晶体讨论电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播若123则有123oennnnn具有这种性质的晶体称之为单轴晶体123若对应的就是各向同性介质，称之为立方晶体单轴晶体折射率椭球曲面方程为222312221oexxxnn这是以x3轴为对称轴的旋转椭球曲面，如图8-1所示。和就是光学上称之为寻常光和非寻常光的折射率，与其相对应的光波传播速度为和onene电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播1x2x3xoneno1x2x3xonenoonon(a)正晶体（ne＞no）(b)负晶体（ne＜no）图8-1单轴晶体折射率椭球曲面图电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播三、折射率ne随方向的变化如图8-2(a)所示，设一平面光波在晶体中传播，平面波的波矢量为k，与晶体的光轴夹角为θ。取x2ox3平面（如图8-2(b)），在此平面内折射率椭球的截线方程为2232221oexxnn而波矢量为k的平面与折射率椭球相截的椭圆与截线方程的交点为23()cos,()sineexnxn该交点满足截线方程，代入得到222222()cos()sin1eeoennnn电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播1x2x3xo1x2xkononen3x()enonoen2x3x()en()enenonk2x3x(a)三维图(b)平面图图8-2折射率椭球截面图电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播这就是非寻常光折射率ne(θ)随方向的变化关系此式表明，当θ=0°时，ne(0°)=no，当θ=90°时，ne(90°)=ne。由此得出结论：当光波沿光轴（x3）传播时，寻常光（o光）和非寻常光（e光）的折射率相同，传播速度也相同，无双折射现象。解，得2222()cossinoeeeonnnnn()en电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播8.2光波在晶体中的传播光波是电磁波，研究光波在晶体中传播的规律出发点仍然是麦克斯韦方程及描述晶体电特性的物质方程。晶体属于非磁性物质，μr=1；晶体无吸收，σ=0；晶体中无源，V=0，JV=0。由此得到晶体中的麦克斯韦方程为tDHtBE0D0B电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播物质方程为111222333000000DEDEDE电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播一、各向异性介质中的单色平面波设晶体中传播的单色平面波为()0jtekrEE()0jtekrDD()0jtekrHH将上式代入麦克斯韦方程可得0cnHkD00cnEkH00kD00kH电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播结论（1）H垂直于E、D、k0、S，且E、D、k和S都位于与H垂直的同一平面内。（2）由于晶体的各向异性，介电常数为一张量，导致D与E的方向不一致，且夹角为α，称之为离散角。由于S与E垂直，而k0与D垂直，因此，k0与S的方向也不一致，其夹角也为α。HS0kED电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播（3）D、H和k0组成右手正交系统，k0是等相位面的单位法线矢量，因此，光波的振动矢量是D。（4）E、H和S组成另一右手正交系统，能流密度矢量S的方向与电场矢量E的方向垂直，S并不垂直于D。HS0kED电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播二、相速度和光线速度平面电磁波表达式中，k表示平面波的波矢量，也即平面波等相位面的方向—波面的法线方向，因此称k0为波面的单位法线矢量。坡印廷矢量S表示电磁波能量传播的矢量，其方向为光线的方向，则S的单位矢量s0称为光线方向的单位矢量或射线单位矢量。等相位面传播的速度就是相速度ckn相速度的方向就是波面的单位法线矢量k000cknυkk根据能流密度矢量S，可定义能量传播速度或称为光线速度为0rSwwSυss0为光线方向的单位矢量，也即能流密度矢量的方向电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播1122emEDBH故000012nnccHkEHkE利用矢量公式ABCABC则有00cosnnnSwcccHkSEk001cosrScwnυss1cosrcn相速度与光线速度之间的关系为cosr可定义光线折射率为cosrrcnn电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播三、菲涅耳法线方程根据光波矢量间的关系式0cnHkD00cnEkH用k0乘以第二式两端0000ncEkkHk代入第一式可得2000nDkkE利用ABCBACCAB200000nDEkkkkE2000nEkkE晶体光学的第一基本方程电磁场与电磁波理论基础第八章电磁波在各向异性介质中的传播其成分量式为2000,1,2,3iiiDnEkikE将代入31,1,2,3iijjjDEi经整理可得2220102032221230111111rrrkkknnn或写成2220102032222221230111111kkknnnnnn这个方程描述的是晶体中光波传播的等相位面的单位法线矢量k0、与之对应的折射率n和晶体折射率椭球的