半偏法测电流表和电压表的内阻实验系统误差分析

1半偏法测电流表和电压表的内阻实验系统误差分析一、半偏法测电流表的内阻实验系统误差分析半偏法测电流表的内阻实验电路原理图如图1所示，实验操作步骤如下：第一步：开关S1、S2闭合前，将滑动变阻器R1的阻值调到最大。第二步：闭合开关S1，调节滑动变阻器R1，使电流表满偏。第三步：保持开关S1闭合，滑动变阻器不动，闭合开关S2，调节电阻箱R2的阻值，使电流表半偏。第四步：记下此时电阻箱R2的阻值，则电流表的内阻2RRg。本实验要求滑动变阻器的阻值远大于电流表的内阻，即gRR1，这样就可近似认为开关S2闭合前后干路中的总电流是不变的。但事实上，当开关S2闭合后，干路中的总电流是变大的，当电流表半偏时，通过电阻箱R2的电流比通过电流表的电流要大，根据并联分流规律可知，半偏法测出的电流表的内阻要比电流表的实际内阻小。下面笔者从理论上运用严格的数学方法对该实验的系统误差进行分析。假定电源的电动势为E，内阻为r，电流表的满偏电流为Ig。闭合开关S1，调节滑动变阻器R1，使电流表满偏时，根据闭合电路欧姆定律得)(1ggRrRIE（1）闭合开关S2，调节电阻箱R2的阻值，使电流表半偏时，根据闭合电路欧姆定律及并联分流公式得ggggRRRRRRRrREI2222121（2）联立（1）和（2），消除E和Ig得ggRRrRrRR112（3）由（1）解得ggRIErR1，将其代入（3）得gggRERIR)1(2（4）由（3）可知gRR2，且当gRrR1，即gRR1时，2RRg近似成立。由（4）可知gR与2R的相对误差ERIRRRgggg2（5）图12由（5）可知，电源的电动势E越大，相对误差越小。结论：用半偏法测电流表的内阻时，测量值比真实值小，为减小实验误差，应使滑动变阻器的阻值远大于电流表的内阻，即gRR1，而要做到这一点，必须使用电动势较大的电源，且为防止电流表过载，必须用大阻值的滑动变阻器与之匹配，可见电源的电动势的大小对误差起主导作用。二、半偏法测电压表的内阻实验系统误差分析半偏法测电压表的内阻实验电路原理图如图2所示，实验操作步骤如下：第一步：开关S闭合前，将电阻箱R2的阻值调到零，滑动变阻器R1的滑片P调到最左端a。第二步：闭合开关S，调节滑动变阻器R1的滑片P的位置，使电压表满偏。第三步：保持滑动变阻器R1的滑片P的位置不变，调节电阻箱R2的阻值，使电压表半偏。第四步：记下此时电阻箱R2的阻值，则电压表的内阻2RRV。本实验要求滑动变阻器的阻值远小于电压表的内阻，即VRR1，这样就可近似认为调节电阻箱2R的阻值后，滑动变阻器的左端电阻apR分得的电压仍然为满偏电压。但事实上调节2R的阻值后，apR分得的电压增大，当电压表半偏时，电阻箱2R两端电压比电压表两端电压要大，根据串联分压规律可知，半偏法测出的电压表的内阻要比电压表的实际内阻大。下面笔者从两个不同的角度运用两种方法对该实验的系统误差进行分析。假定电源的电动势为E，内阻为r，电压表的满偏电压为U。当02R，开关S闭合，调节滑动变阻器1R的滑片P，使电压表满偏时，根据闭合电路欧姆定律得)(rRRRRRRRRRUEbpapVapVapVapV,其中1RRRbpap（1）调节电阻箱2R的阻值，使电压表半偏时，根据闭合电路欧姆定律及串联分压公式得322222)()(21RRRRRRRRRrRRRRRRREUVVapVapVbpapVapV（2）方法一：联立（1）和（2），消除E和U得rRrRRRRbpapV12)(（3）显然VRR2，且VR与2R的相对误差VbpapVVRrRrRRRRR)()(12根据平均值不等式212)(41)2()(rRrRRrRRbpapbpap，故VRrR41又根据分式不等式)0,0(mbambmaba及)0,0(mbambmaba则由（1）可知111)()()(RrRURrRURrRRUEapapbpap(最后一步用到1RRap）于是有UERrR11，故VVVURERRRR412（4）由（4）可知，当VRR1时，2RRV近似成立，且选择电动势较小的电源也可以减小相对误差，当然为使电压表指针能达到满偏，必须满足UE，故要选择电动势略大于电压表的满偏电压的电源。方法二：将（1）式整理成关于apR的一元二次方程得0)()(112rRRRrRRUERVapVap（5）将（2）式整理成关于apR的一元二次方程得0))(()2(1212rRRRRrRRUERVapVap（6）方程（5）和（6）有公共根，记为1x，1x即为apR的阻值。设方程（5）的另一根为2x，方程（6）的另一根为3x，根据韦达定理即一元二次方程的根与系数的关系得4VRUErRxx121（7）)(121rRRxxV（8）VRUErRxx2131（9）))((1231rRRRxxV（10）VRUExx32)9()7(（11）232)10()8(RRRxxVV（12）联立（11）和（12）解得222URERxV（13）223)(URRRRExVV（14）将（13）代入（7）解得2211)(URRRERrRxVV（15）将（13）代入（8）解得VERrRURx)(121（16）根据11RRxap及（15）和（16）得VR与2R的相对误差VVRRR2的取值范围1)1(1)(11101112RrUErRUERRRRERUrVVV（17）注意：由于11)(RrRUE，可知（17）式的右边01)(11rRUER由（17）式的左边可知，VRR2，由（17）式的右边可知，为减小相对误差，应选择小阻值的滑动变阻器1R，且电源的电动势要适当小一些，也可以减小相对误差，当然为使电压表指针能达到满偏，必须满足UE，故要选择电动势略大于电压表的满偏电压的电源。结论：显然上述两种方法得出的结论是一致的，由此可知用半偏法测电压表的内阻时，测量值比真实值大，为减小实验误差，应使滑动变阻器的阻值远小于电压表的内阻且应该选择电动势略大于电压表的满偏电压的电源。