第二章 理论力学汇交力系

1第二章汇交力系2§2-1汇交力系的合成与平衡现实生活中往往有许多力的作用线汇交于一点。我们把这样的力系称为汇交力系。一、合成31、几何法设F1、F2、F3和F4为一组汇交力系作用于刚体上。xyzF1F2F3F4F1F2F3F4R12R123RabcdeF3R12F3R12F3R12R123R123R123R123F4F4F4F4称多边形abcde为力多边形，R为封闭边。R=R123+F4=R12+F3+F4=F1+F2+F3+F4推广得：R=F1+F2+…FN=ΣFiO4（1）力在轴上的投影：投影结果为代数量（2）力在平面上的投影：投影结果为矢量为什么在平面上的投影结果为矢量？cosFabxFxαABxαABababMabFMFABαcosFMF2、解析法5xyzijkXiFiFi=Xii+Yij+ZikR=F1+F2+…+FN=ΣFi=(ΣXi)i+(ΣYi)j+(ΣZi)k又由R=Rxi+Ryj+Rzk得：Rx=ΣXi;Ry=ΣYi;Rz=ΣZi显然，合力的大小方向余弦cos(R,i)=Rx/R;cos(R,j)=Ry/R;cos(R,k)=Rz/R222)()()(ZYXR=把空间中的力Fi向三个坐标轴投影，分别为Xi、Yi和Zi。XiZiYiZiYiXiZiYiO6xyz二、平衡F1F2F3F1F2F3R12abcdF4R123F4设F1、F2、F3和F4为作用于刚体上的一组汇交力系，使刚体平衡。由二力平衡条件知：要使刚体保持平衡，需满足R123+F4=0又因为R123=F1+F2+F3所以R=R123+F4=F1+F2+F3+F4=0a力多边形自行封闭了。O7汇交力系平衡的解析条件：ΣXi=0;ΣYi=0;ΣZi=0汇交力系平衡的充要条件：R=F1+F2+…+FN=0即ΣFi=0汇交力系平衡的几何条件：力多边形自行封闭。•结论222)()()(ZYX由R==08ABFhRαOP图示石磙重P=20kN，半径R=0.6m，障碍物高h=0.08m。求（1）水平力F=5kN时磙对地面和对障碍物的压力；（2）欲将磙拉过障碍物F沿什么方向拉最省力，此力为多大？例2-1解：(1)首先受力分析cosα=(R-h)/R=0.866故α=30°再画力多边形(见后续）FAFB9按比例量得：FA=11.4kN，FB=10kNFPαPαFFFBFminFmin=Psinα=P/2=10kN(2)例2-1（续）FFFFBFAFB10xyO平面汇交力系的特殊情形1、力在轴上的投影与力沿坐标轴的分力根据力在某轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦。对于正交轴Oxy，有F=Xi+Yj必须注意，力在轴上的投影X、Y为代数量（力与轴间的夹角为锐角时，其值为正），而力沿两轴的分量是矢量。在两轴相互不正交时，分力在数值上不等于投影。2、平面问题的平衡条件∑X=0，∑Y=0事实上，两坐标轴并不要求一定相互垂直，只要两轴不平行即可。XYFyFxF分力投影XYFyFx分力投影11求图示结构支座A、B的约束力。各杆的自重忽略，且∠ABC=∠BAC=30。例2-3CABPFFBFA解：法一，取坐标轴如图并做受力分析∑X=0,-FAcos30°+FBcos30°-F=0∑Y=0,(FA+FB)Sin30°-P=0yxFBFAFBFAFBFA联立求解，便可解出FA和FB（这里暂不解）12CABPFFBFA例2-3续法二，取坐标轴如图x∑X=0,FBcos30°－Pcos30°－Fcos60°=0∑Y=0,FAcos30°+Fcos60°－Pcos30°=0FPFB31FPFA31y显见，x和y轴并不相互正交，而求解反而方便了。13§2-2平面力对点的矩˙平面力偶14nO1.力对刚体的转动效应用力对点的矩来度量一、力对点的矩hOABF假设力作用在图示平面内，且O点也在此平面内，则力F对O点的矩为MO(F)=±Fh或：MO(F)=±2△OAB力使物体绕矩心逆时针转为正，反之为负。O——称为矩心h——称为力臂单位：Nm或kNmhOABhOABhOABrFF15二、合力矩定理即：上式适用于任何有合理存在的力系汇交力系的合力对任意点的矩等于该力系所有分力对同一点的矩的矢量和。niiOO1)()(FMRM16三、力偶理论171.力偶与力偶矩力偶——由两个等值、反向且不共线的平行力系组成。记作（F，F’）这一矢量称作力偶矩矢1）其长度表示力偶矩大小；dBFF’A•两个力确定的平面称力偶作用面•两个力之间的垂直距离d称为力偶臂•空间力系因力偶作用面的方位可能各不相同，故把力偶用矢量表示。M2）方位与作用面法方向方位n同。3）指向与力偶转向的关系服从右手螺旋法则。nMdddMnMMnMMnM18b.平面力偶系的力偶若在所研究的问题中，所有的力偶都作用在同一平面内，则称为平面力偶系。FF’BACd将平面力偶系的力偶记作M(F,F’)，简称M。力偶矩为代数量即：M=±Fd=±2△ACB一般以逆时针为正，反之为负，单位与力矩相同。19作用于刚体上的两力偶，若它们的力偶矩矢相等，则此二力偶等效。——力偶等效定理2.力偶的性质性质一•性质一的实质（1）力偶在其作用面内只要力偶矩不变（即力与力偶臂的积不变），它就可以随意的转移，也可以增大力的同时减小力偶臂（或减小力的同时增大力偶臂），不改变它对刚体的作用效应。（2）力偶的作用面可以随意平行搬移，不改变它对刚体的作用效应。20•性质一实质的图解不同平面力偶等效平行搬移21性质二力偶不能与一个力等效,因此也不能与一个力平衡。性质三力偶没有合力。性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等效而不能与单个力等效。•力偶只能与力偶相平衡223.力偶系的合成任意个力偶可以合成为一个合力偶，这个合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。M=M1+M2+…+Mn=∑MiM1+M2+…+Mn=rBA×F1+rBA×F2+…+rBA×Fn=rBA×(F1+F2+…+Fn)=rBA×R=MM1MnM2RBABA1F1F2F2FnFnFRR证：设有n个力偶，由性质一,总可得到两个汇交力系，汇交点分别为A和B。证毕。234.力偶系的平衡条件在平面力偶系中合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。M=M1+M2+…+Mn=∑Mi由合成结果可知：nii10M力偶系平衡的充分必要条件是力偶系的合力偶矩等于零，即所有力偶矩矢的矢量和等于零。•平面力偶系平衡条件：niiM1024三铰刚架由两直角刚架组成，AC部分上作用一力偶，其力偶矩为M，自重不计，且a:c=b:a，求A、B支座的约束力。例2-4MACMbcaACBCBAFCFBFAC为对象，∑M=0,022MbaFA22baMFA考虑CB部分为二力构件，得：ACCBFFFFCFCFCFCFCFBFBFAFAF解：由a:c=b:a知：AC⊥CB，受力分析CBA25OF图示机构自重不记。圆轮上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽内。M1=2kNm，OA=r=0.5m。图示位置OA⊥OB，α=30°，且系统平衡。求作用于摇杆BC上力偶的矩M2及O、B支座的约束力。αAOα例2-5M2M1αBACαBACOrM2M1AFBFAFAFBFBFAFAFAFOFOF解：受力分析ABAO26续例2-5先以轮为对象，∑M=0，M1-FArsinα=0M2αBACAFBFAFAFBFBFAFOFOFαAOαM1AFAFAFOFOFrMrMFA11230sin•再以摇杆为研究对象，由力偶平衡条件0sin2MrAF∑M=0，M2=4M1=8kNmkN821rMFFFABOArMF22已知：M1=2kNm，OA=r=0.5m32作业：2-6，2-8（c）