线性代数线性方程组第三章线性方程组

第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法一.线性方程组的概念一般形式:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2…………………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm(3.1)齐次线性方程组(homogeneous~)(systemoflinearequations)解(tosolve,solution)相容(consistent)非齐次线性方程组(nonhomogeneous~)第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法设A=a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn,b=b1b2…bm,a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2…………………am1x1+am2x2+…+amnxn=bmAx=b.x=x1x2…xn,解向量(solutionvector),则解集(solutionset),同解(havingthesamesetofsolutions)vectorofunknownsvectorofconstants§3.1线性方程组和Gauss消元法称A=a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn为(3.1)的系数矩阵[A,b]=a11a12…a1nb1a21a22…a2nb2……………am1am2…amnbm为(3.1)的增广矩阵第三章线性方程组(coefficientmatrix),(augmentedmatrix).§3.1线性方程组和Gauss消元法二.Gauss消元法(Gauss’method)2x13x2+4x3=4x1+2x2x3=32x1+2x26x3=2x1+2x2x3=32x13x2+4x3=4x1+x23x3=1x1+2x2x3=3x2+2x3=2x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=20=01/21对换变换(swapping)倍乘变换(rescaling)倍加变换(pivoting)阶梯形方程组(echelonform)第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法x15x3=1x2+2x3=20=0x1+2x2x3=3x2+2x3=20=0阶梯形(echelonform)(2)x1=5x3+1x2=2x32x3=x3(任意)最简形(reducedechelonform)或写成向量形式由此可得原方程组的通解(generalsolution)x=5c+12c2c,其中c为任意数.第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法1.线性方程组的初等变换第三章线性方程组对换变换(swapping)(elementaryreductionoperations/rowoperations/Gaussianoperations)倍乘变换(rescaling)倍加变换(pivoting)注:倍乘变换必须用非零的数去乘某一个方程(multiplyingbyanonzeroscalar).§3.1线性方程组和Gauss消元法2.阶梯形线性方程组的有三中基本类型.2x1+3x2x3=12x2+x3=20=1x1x2+2x3=82x2+x3=1x3=5x1+2x2+x3+x4=2x3+4x4=3第三章线性方程组例如:leadingvariablesfreevariables§3.1线性方程组和Gauss消元法3.阶梯阵的形状与线性方程组的解.2x1+3x2x3=12x2+x3=20=1x1x2+2x3=82x2+x3=1x3=5x1+2x2+x3+x4=2x3+4x4=30=0无解有唯一解有无数解234102120001212802110015121120014300000解的数目Ax=bAx=b~~[A,b]~~[A,b]r2=r1+1r2=r1=n第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法例1.设有线性方程组321321321)(13)(10)(1xxxxxxxxx问为何值时,此方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.解:对其增广矩阵[A,b]作初等行变换,化为阶梯形.第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法1+11011+13111+[A,b]=111+11+131+110(1)111+031+110111+030(2+)(1+)(1)111+0300(3+)(1)(3+)1第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法111+0300(3+)(1)(3+)(1)当0且3时,方程组有唯一解;(2)当=0时,方程组无解;(3)当=3时,方程组有无穷多解.此时111+0300(3+)(1)(3+)112303360000=112301120000101101120000(1)()13第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法101101120000令x3=c,则x1x2x3(c为任意实数).111=c120+由此可得原方程组的通解x1=x31x2=x32x3=x3(任意)因而原方程组化为x1x3=1x2x3=2第三章线性方程组611565343231xxxxx01536/1016/56/15136/5ttttX6/11000105106/50301例2：212202122432143214321xxxxxxxxxxxx过程在最终的矩阵中，可画出“阶梯状”虚线，使得：1、每一阶梯占一行2、阶梯下元素为03、每一拐角处为14、包含拐角元素1的每一列其余元素均为0总结（一）：Gauss消去法6/11000105106/50301410020103001第三节线性方程组解的讨论。是有无穷多解的充要条件有唯一解的充要条件是无解的充要条件是有解的充要条件是元线性方程组定理nArArnArArArArArArbAXn)()(;)()();()();()(1~~~~0Ann充要条件是的元线性方程组有唯一解个方程的推论：例3：432532225432143214321xxxxxxxxxxxxx无穷多解1031005.05.05.00105.15.05.30011t2t例4：3211321321321321xxxxxxxxxxxx无解10005.01005.00101111总结（二）1、无解：最后一列出现拐角元素12、唯一解：除最后一列其余各列均有拐角元素13、无穷多：除最后一列，至少另外有一列无1;)(;002nArAAXn只有零解的充要条件是有非零解的充要条件是元齐次线性方程组定理000AAAXnn只有零解的充要条件是有非零解的充要条件是元齐次线性方程组个方程的推论：见例2：02202022432143214321xxxxxxxxxxxx0153tX和原方程对比！思考：唯一解无解无穷解