2019-2020年中考数学专题知识突破七：归纳猜想型问题

2019-2020年中考数学专题知识突破七：归纳猜想型问题一、中考专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。二、解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。三、中考考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。例1（2014•菏泽）下面是一个某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n－2个数是（用含n的代数式表示）思路分析：观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n－1行的数据的个数，再加上n－2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可．考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。例2（2014•仙桃）将相同的矩形卡片，按如图方式摆放在一个直角上，每个矩形卡片长为2，宽为1，依此类推，摆放2014个时，实线部分长为．思路分析：根据图形得出实线部分长度的变化规律，进而求出答案．考点三：猜想坐标变化规律例3（2014•莱芜）如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为123BBB，，，…，则2014B的坐标为．思路分析：连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2014=335×6+4，因此点B4向右平移1340（即335×4）即可到达点2014B，根据点4B的坐标就可求出点2014B4的坐标．考点四：猜想数量关系数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。例4（2014•临沂）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC；（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．思路分析：（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图1（1），易证△ADE≌△NCE，从而有AD=CN，只需证明AM=NM即可．（2）作FA⊥AE交CB的延长线于点F，易证AM=FM，只需证明FB=DE即可；要证FB=DE，只需证明它们所在的两个三角形全等即可．（3）在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM=AD+MC仍然成立；在图2（2）中，采用反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到AM=DE+BM不成立．考点五：猜想变化情况随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。例5（2014•聊城）如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点1234nAAAAA，，，，，分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y=1x的图象相交于点1234nPPPPP，，，，；作211132224333111nnnnPBAPPBAPPBAPPBAP，，，，；垂足分别为12341nBBBBB，，，，，；连接1223341nnPPPPPPPP，，，，；得到一组11222333411nnnRtPBPRtPBPRtPBPRtPBP，，，，，则11nnnRtPBP的面积为．思路分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到112RtPBP的面积=12×a×（112aa），223RtPBP的面积=12×a×（1123aa），334RtPBP的面积=12×a×（1134aa），由此得出11nnnPBP的面积=12×a×[（111nana）]，化简即可．考点六：猜想数字求和例6(2014•滨州）计算下列各式的值：2222919;99199;9991999;999919999．观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得220149201499991999个个=．思路分析：先计算得到212223249191010;9919910010;999919999100010;99919991000010;计算的结果都是10的整数次幂，且这个指数的大小与被开方数中每个数中9的个数相同，即可得出规律．四、中考真题演练一、选择题1．（2014•临沂）请你计算：（1－x）（1+x），（1－x）（21xx），…，猜想（1－x）（21nxxx）的结果是（）A．11nxB．11nxC．1nxD．1nx2．（2014•烟台）将一组数3,6,3,23,15,...,310，按下面的方式进行排列：3,6,3,23,15；32,21,26,33,30；…若23的位置记为（1，4），26的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（）A．52（，）B．5（，3）C．2（6，）D．（6，5）3．（2014•济南）现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列0S，将其中的每个数换成该数在0S中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列0S：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若0S可以为任意序列，则下面的序列可作为1S的是（）A．（1，2，1，2，2）B．（2，2，2，3，3）C．（1，1，2，2，3）D．（1，2，1，1，2）4．（2013•重庆）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1棵棋子，第②个图形一共有6棵棋子，第③个图形一共有16棵棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（）A．51B．70C．76D．815．（2014•威海）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△22OAC，Rt△33OAC，Rt△44OAC…的斜边都在坐标轴上，11223344AOCAOCAOCAOC=…=30°．若点A1的坐标为（3，0），122334OAOCOAOCOAOC，，…，则依此规律，点2014A的纵坐标为（）A．0B．20133332（）C．201423（）D．20133332（）6（2014•荆州）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长1CA到2A，使121AAAD，得到第2个12AAD；在边2AD上任取一点E，延长123AAA到，使232AAAE，得到第3个23AAE，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以nA为顶点的内角度数是（）A．1•752n（）B．11•652n（）C．11•752n（）D．1•852n（）二．填空题7．（2014•台州）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第n次运算的结果ny．8.（2014•牡丹江）如图，是由一些点组成的图形，按此规律，在第n个图形中，点的个数为．9．（2014•德州）如图，抛物线2yx在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为123nAAAA，，，…．将抛物线2yx沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点123nMMMM，，，，…都在直线L：y=x上；②抛物线依次经过点123nAAAA，，，…．则顶点2014M的坐标为．10．（2014•东营）将自然数按以下规律排列：表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数5与（1，3）对应，数14与（3，4）对应，根据这一规律，数2014对应的有序数对为11.（2014•泰安）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△11ABC的位置，点B、O分别落在点B11C、处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点1B顺时针旋转到112ABC的位置，点2C在x轴上，将112ABC绕点2C顺时针旋转到222ABC的位置，点2A在x轴上，依次进行下去…．若点A（53，0），B（0，4），则点2014B的横坐标为．12．（2014•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以2cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为1S，矩形PDFE的面积为2S，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=秒时，122SS.13．（2014•本溪）如图，已知∠AOB=90°，点A绕点O顺时针旋转后的对应点1A落在射线OB上，点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，点A绕点2A顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，…，连接123AAAAAA，，…，依次作法，则∠1nnAAA等于度．（用含n的代数式表示，n为正整数）．14．（2014•贵港）已知点1122233341nnnAaaAaaAaaAaa（，），（，），（，），（，）（n为正整数）都在一次函数y=x+3的图象上．若12a，则2014a=.15．（2014•天水）如图，一段抛物线y=－x（x－1）（0≤x≤1）记为1m，它与x轴交点为O、1A，顶点为1P；将1m绕点A1旋转180°得2m，交x轴于点2A，顶点为2P；将m2绕点2A旋转180°得m3，交x轴于点3A，顶点为3P，…，如此进行下去，直至得10m，顶点为10P，则10P的坐标为．16．（2014•绥化）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（－1，1），C（－1，－2），D（1，－2），把一根长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是．17．（2014•龙岩）如图，∠AOB=60°，123OOO，，…是∠AOB平分线上的点，其中12OO，若123OOO，，…分别以为圆心作圆，使得123OOO，，…均与∠AOB的两边相切，且相邻两圆相外切，则2014O的面积是．18.（2014•日照）如图，已知△ABC的面积是12，点E、I分别在边AB、AC上，在BC边上依次作了n个全等的小正方形DEFG，GFMN，…，KHIJ，则每个小正方形的边长为.19.（2014•铜仁）一列数：0，－1，3，－6，10，－15，21，…，按此规律第n个数