【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件：5.1 平面向量的概念及其线性

第五章平面向量5.1平面向量的概念及其线性运算第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-3-考纲要求1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念和向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-4-1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量,向量的大小叫做向量的模(或长度)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量,其方向是任意的记作0向量a的单位向量与非零向量a同方向且长度为1个单位的向量非零向量a的单位向量为𝑎|𝑎|共线向量(平行向量)方向相同或相反的非零向量叫做共线向量(平行向量)0与任一向量平行(共线)相等向量长度相等且方向相同的向量记作a=b相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-5-想一想向量平行与直线平行有何区别?答案:向量平行包括向量共线和重合的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-6-2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:a+b=b+a.(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-7-续表向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a-b=a+(-b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|=|λ|·|a|.(2)当λ0时,λa与a的方向相同;当λ0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=(λμ)a(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-8-3.平面向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一的实数λ,使b=λa.想一想平面向量共线定理中要求a≠0,为什么?答案:若a=0,这样的实数λ可能不存在,也可能有无数个,就不具备唯一性了.第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-9-基础自测1.给出下列命题:①向量𝐴𝐵与向量𝐵𝐴的长度相等,方向相反;②𝐴𝐵+𝐵𝐴=0;③a与b平行,则a与b的方向相同或相反;④两个相等向量的起点相同,则其终点必相同;⑤𝐴𝐵与𝐶𝐷是共线向量,则A,B,C,D四点共线,其中不正确的个数是()A.2B.3C.4D.5答案解析解析关闭②中𝐴𝐵+𝐵𝐴=0,而不等于0;③中a或b为零向量满足a与b平行,但不能说a与b方向相同或相反,因为零向量方向是任意的;⑤中𝐴𝐵与𝐶𝐷所在直线还可能平行,故②③⑤错.答案解析关闭B第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-10-2.已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2𝐴𝐶+𝐶𝐵=0,则𝑂𝐶等于()A.2𝑂𝐴−𝑂𝐵B.-𝑂𝐴+2𝑂𝐵C.23𝑂𝐴−13𝑂𝐵D.-13𝑂𝐴+23𝑂𝐵答案解析解析关闭依题意得2(𝑂𝐶−𝑂𝐴)+(𝑂𝐵−𝑂𝐶)=0,所以𝑂𝐶=2𝑂𝐴−𝑂𝐵.答案解析关闭A第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-11-3.平面向量a,b共线的充要条件是()A.a,b方向相同B.a与b中至少有一个为零向量C.∃λ∈R,使b=λaD.存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0答案解析解析关闭A中,a,b同向,则a,b共线,但a,b共线,a,b不一定同向.B中,若a,b两向量中至少有一个为零向量,则a,b共线,但a,b共线时,a,b不一定是零向量.C中,当b=λa时,a与b一定共线,但a,b共线时,若b≠0,a=0,则b=λa不成立.排除A,B,C,故选D.答案解析关闭D第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-12-4.已知向量a,b,且𝐴𝐵=a+2b,𝐵𝐶=-5a+6b,𝐶𝐷=7a-2b,共线的三点是.答案解析解析关闭𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐷=𝐴𝐷=3a+6b,∵𝐴𝐷=3𝐴𝐵,∴A,B,D三点共线.答案解析关闭A,B,D第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-13-5.在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,且𝐴𝐵=a,𝐴𝐷=b,则𝐵𝐸=(用a,b表示).答案解析解析关闭𝐵𝐸=𝐵𝐶+𝐶𝐸=𝐴𝐷+12𝐵𝐴=b-12a.答案解析关闭b-12a第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-14-考点一考点二考点三考点一向量的概念【例1】判断下列各命题是否正确.(1)零向量没有方向;(2)若|a|=|b|,则a=b;(3)单位向量都相等;(4)向量就是有向线段;(5)如果a∥b,b∥c,那么a∥c;(6)若a=b,b=c,则a=c;(7)若四边形ABCD是平行四边形,则𝐴𝐵=𝐶𝐷,𝐵𝐶=𝐷𝐴;(8)a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.答案答案关闭(1)不正确,零向量方向是任意的;(2)不正确;两向量模相等.方向不一定相同;(3)不正确;要看向量方向是否相同;(4)不正确;(5)不正确;(6)正确;(7)不正确;(8)不正确,a∥b,两向量方向不一定相同.第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-15-考点一考点二考点三方法提炼1.平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键,特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位,充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.2.几个重要结论(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行具有传递性;(2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量;(3)平行向量与起点无关.第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-16-考点一考点二考点三举一反三1给出下列命题:(1)两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.(2)两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.(3)λa=0(λ为实数),则λ必为零.(4)λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中错误的命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案解析解析关闭(1)错,两向量共线要看其方向而不是起点与终点;(2)对,因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小;(3)错,当a=0时,不论λ为何值,λa=0;(4)错.当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是任意向量.答案解析关闭C第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-17-考点一考点二考点三考点二向量的线性运算【例2】(2013江苏高考)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若𝐷𝐸=λ1𝐴𝐵+λ2𝐴𝐶(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.答案解析解析关闭由题意作图如图.∵在△ABC中,𝐷𝐸=𝐷𝐵+𝐵𝐸=12𝐴𝐵+23𝐵𝐶=12𝐴𝐵+23(𝐴𝐶−𝐴𝐵)=-16𝐴𝐵+23𝐴𝐶=λ1𝐴𝐵+λ2𝐴𝐶,∴λ1=-16,λ2=23.故λ1+λ2=12.答案解析关闭12第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-18-考点一考点二考点三方法提炼1.平面向量的线性运算法则的应用三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法,共起点的向量的和用平行四边形法则,差用三角形法则.2.两个重要结论(1)向量的中线公式:若P为线段AB的中点,则𝑂𝑃=12(𝑂𝐴+𝑂𝐵).(2)向量加法的多边形法则𝐴1𝐴2+𝐴2𝐴3+𝐴3𝐴4+…+𝐴𝑛-1𝐴𝑛=𝐴1𝐴𝑛.(3)根据向量恒等式求参数值时,要利用一个向量在给定的基底下的分解式是唯一的进行对应列式.第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-19-考点一考点二考点三提醒:当两个向量共线(平行)时,三角形法则同样适用.向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的,但当两个向量共线(平行)时,平行四边形法则就不适用了.第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-20-考点一考点二考点三举一反三2在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若𝐴𝐶=a,𝐵𝐷=b,则𝐴𝐹等于()A.14a+12bB.23a+13bC.12a+14bD.13a+23b答案解析解析关闭如图,𝐴𝐹=𝐴𝐷+𝐷𝐹,由题意知,DE∶BE=1∶3=DF∶AB,∴𝐷𝐹=13𝐴𝐵,∴𝐴𝐹=12a+12b+1312𝑎-12𝑏=23a+13b.答案解析关闭B第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-21-考点一考点二考点三考点三向量的共线问题【例3】设e1,e2是两个不共线向量,已知𝐴𝐵=2e1-8e2,𝐶𝐵=e1+3e2,𝐶𝐷=2e1-e2.(1)求证:A,B,D三点共线;(2)若𝐵𝐹=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.答案答案关闭(1)证明:由已知得𝐵𝐷=𝐶𝐷−𝐶𝐵=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,∵𝐴𝐵=2e1-8e2,∴𝐴𝐵=2𝐵𝐷,又有公共点B,∴A,B,D三点共线.(2)解:由(1)可知𝐵𝐷=e1-4e2,且𝐵𝐹=3e1-ke2,由B,D,F三点共线,∴存在实数λ,使得𝐵𝐹=λ𝐵𝐷,即3e1-ke2=λe1-4λe2,得𝜆=3,-𝑘=-4𝜆,解得k=12,∴k=12.第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-22-考点一考点二考点三方法提炼1.向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想.2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-23-考点一考点二考点三举一反三3若a,b是两个不共线的非零向量,a与b起点相同,则当t为何值时,a,tb,13(a+b)三向量的终点在同一条直线上?答案答案关闭设𝑂𝐴=a,𝑂𝐵=tb,𝑂𝐶=13(a+b),∴𝐴𝐶=𝑂𝐶−𝑂𝐴=-23a+13b,𝐴𝐵=𝑂𝐵−𝑂𝐴=tb-a.要使A,B,C三点共线,则存在实数λ,使𝐴𝐶=λ𝐴𝐵,即-23a+13b=λtb-λa,∴-23=-λ,13=λt.∴𝜆=23,𝑡=12.∴当t=12时,三向量的终点在同一条直线上.第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-24-1231.下列命题正确的是()A.向量a,b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使b=λaB.在△ABC中,𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐴=0C.不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中两个等号不可能同时成立D.向量a,b不共线,则向量a+b与向量a-b必不共线答案解析解析关闭∵向量a与b不共线,∴a,b,a+b与a-b均不为零向量.若a+b与a-b平行,则存在实数λ,使a+b=λ(a-b),即(λ-1)a=(1+λ)b,∴𝜆-1=0,1+𝜆=0,λ无解,故假设不成立,即a+b与a-b不平行,故选D.答案解析关闭D第五章5.1平面向量的概念及其线性运算-25-1232.给出下列四个命题:①a与b共线,b与c共线,则a与c也共线;②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点;③向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;④有相同起点的两个非零向量不平行.其中所有正确命题的序号是.答案解析解析关闭由于零向量与任一向量都共线,命题①中的b可能为零向量,从而不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,更不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以命题②不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以命题④不正确;③正确.综上