概率粗糙集模型

第十讲概率粗糙集模型1Y.Y.Yao,Three-waydecisionswithprobabilisticroughsets,InformationSciences,180(2010)341-3532Y.Y.Yao,S.K.M.Wong,P.Lingras,Adecision-theoreticroughsetmodel,in:Z.W.Ras(Eds),MethodologiesforIntelligentSystems,vol.5,North-Holland,1990,17-243Y.Y.Yao,Y.Zhao,Attributereductionindecisiontheoreticroughsetmodel,InformationSciences,178(2008)3356-3373设P是样本空间U上的一个概率测度。条件概率：()()()PABPABPB;全概率公式：设{;1}iAik是样本空间的一个划分，则11()()()().iiiikikPAPAAPAAPA贝叶斯公式：1()()()().()()()iiiijjjkPAPAAPAAPAAPAPAPAA最小风险贝叶斯决策设(,,,,)KUPATVf是一个概率知识表示系统，其中(,,,)UATVf是一个信息系统，P是U上的一个概率测度。状态集合（state）12{,,,}s，iwU决策集合（action）12{,,,}mArrr。([])jPwx：具有描述[]x的对象处于状态jw的概率；()ijrw：状态为jw时采用决策ir的风险损失（量化）.对具有描述[]x的对象采用决策ir的期望损失由全概率公式可得：1([])()([]).iijjjsRrxrwPwx若1([])min([])ittmRrxRrx，则对[]x实施决策.ir例：停车问题1:w会议时间不超过2小时；2:w会议时间超过2小时。假设：1()0.8,Pwx2()0.2.PwxParkonmeter(1a):不超过2小时为2美元；超过2小时为12美元.Parkinaparkinglot(2a):不超过2小时为7美元；超过2小时为7美元.于是有：1()20.8120.23Rax（美元）2()70.870.27Rax（美元）决策：Parkonmeter(1a)。1([])()([]).iijjjsRrxrwPwx医疗诊断问题设U是病人集合，w是某种疾病，状态集合{,}ww。情形1：全体病人被分为()posw：立即治疗的病人集合；()negw：不用治疗的病人集合。决策集合12{,}Arr，其中1r：()xposw；2:().rxnegw于是有12([])([])([])iiiRrxPwxPWx，1()iirw，2(),iirw1,2.i由贝叶斯最小风险决策原理可得：1():[]()Yrxposw，若12([])([])RrxRrx；2():[]()Nrxnegw，若21([])([])RrxRrx。假设11212212,，122221111222()()，则有1():[]()Yrxposw，若([])Pwx；2():[]()Nrxnegw，若([])Pwx。具体应用中，有两种方案：11():[]()Yrxposw，若([])Pwx；12():[]()Nrxnegw，若([])Pwx。21():[]()Yrxposw，若([])Pwx；22():[]()Nrxnegw，若([])Pwx。情形2：全体病人被分为()posw：立即治疗的病人集合；()negw：不用治疗的病人集合；()bndw：进一步观察病人集合。决策集合123{,,}Arrr，其中1r：()xposw；2:()rxnegw；3:()rxbndw。于是有得到期望风险：12([])([])([])iiiRrxPwxPWx，1()iirw，2(),iirw1,2,3.i由贝叶斯最小风险决策原理可得：1():[]()Yrxposw，若12([])([])RrxRrx，13([])([])RrxRrx；2():[]()Nrxnegw，若21([])([])RrxRrx，23([])([])RrxRrx；3():[]()Drxbndw，若31([])([])RrxRrx，32([])([])RrxRrx。假设113121，223212，于是有1():[]()Yrxposw，若([])Pwx，([])Pwx；2():[]()Nrxnegw，若([])Pwx，([])Pwx；3():[]()Drxbndw，若([])Pwx，([])Pwx。其中123231111232()()，122221111222()()，322221313222()()。注意到介于与之间，于是有：（1）若，则1():[]()Yrxposw，若([])Pwx；2():[]()Nrxnegw，若([])Pwx；退化为情形1.（2）若，则，从而1():[]()Yrxposw，若([])Pwx；2():[]()Nrxnegw，若([])Pwx；3():[]()Drxbndw，若([])Pwx。退化为情形1.（3）若，1():[]()Yrxposw，若([])Pwx；2():[]()Nrxnegw，若([])Pwx；3():[]()Drxbndw，若([])Pwx，([])Pwx。进一步，有1():[]()Yrxposw，若([])Pwx；2():[]()Nrxnegw，若([])Pwx；3():[]()Drxbndw，若([])Pwx。概念w的下近似与上近似定义为（概率粗糙集模型）：()(){;([])}aprwposwxPwx，()()(){;([])}aprwposwbndwxPwx。AboutlossesLossesmaybeestimatedthroughtechniquessuchascost-effectiveanalysisandcost-benefitanalysis.Theestimationoflossesismuchdomaindependentandneedscarefulinvestigationbasedondomainknowledgewhenapplyingthedecision-theoreticroughsetmodel.Derivationofotherprobabilisticroughsetmodels假设：0()c：113121，223212；1()c：3111213112323222()。(1)非对称变精度粗糙集模型（G.Busse,1992）()(){;([])}aprwposwxPwx，(){;([])}aprwxPwx.（2）若12211，112231320，则1，0，0.5，此时(1,0)(){;([])1}aprwxPwx，(1,0)(){;([])0}aprwxPwx。若[]([])[]wxPwxx为包含度，则退化为Pawlak粗糙集模型(1982)。（3）若满足：2()c：3111213112323222()()()()，则1，(0.5,1]()(){;([])}aprwposwxPwx，()()(){;([])1}aprwposwbndwxPwx，退化为Ziarko变精度粗糙集模型(1993)。例如，令12214，31321，11220，则0.75,0.25,0.5。基于概率粗糙集模型的规则获取设(,{},,)SUAtCDVf是一个决策表，{;1}iUDimD，{[];}UxxUC.对于wU，()(){;([])}aprwposwxPwx，(){;([])}aprwxPwx，其中,已确定，且.11()()()imiimiposDposDaprD；11()()(()())imiimiibndDbndDaprDaprD；()()().negDUposDbndD一般情况下，（1）()()posDbndDU，()().posDbndD（2）()()()ijposDposDij一般不成立。（3）()()()ijbndDbndDij一般不成立。若0.5，则（2）成立；若0.5，则（2），（3）成立；若0，则()negD。确定性规则：若[]ixD，则[]ixD；不确定性规则：[]jxD，可信度为[][]jxDx，01.按照Pawlak粗糙集模型，恰好得到如上规则。基于Pawlak模型的正域约简保持确定性规则不变。按照概率粗糙集模型，可以将规则划分为：1Positiverule:若[]()xposD，则[]pixD，其中[]()()iixposDaprD；2Boundaryrule:若[]()xbndD，则[]bixD，若[]()()()iiixbndDaprDaprD；3Negativerule:若[]()xnegD，则对于任意1im，[]()ixnegD，[]nixD，[][]ixDx。Therulewiththeconfidenceistooweaktobemeaningful,anddoesnotsupportanyactiontowardsadecisionclass.Singleruleevaluation(1)[]([])([])[]iiixDconfidencexDPDxx;([])piconfidencexD；([])biconfidencexD。(2)[]cov([])([])iiiixDeragexDPxDD;(3)[]([])ixgeneralityxDU;(4)cost:若假设1112，则1112([])([])([])piiiRxDPDxPDx121112()([])piconfidencexD1211121112()(1)，特别地，110，121时，([])1.piRxD3132([])([])(1([]).biiiRxDPDxPDxRulesetevaluation记max([])argmax{([])}iDxconfidencexD设PRS是所有Positiverule构成的集合。（1）[]()max[]()[]([])()[]xposDxposDxDxconfidencePRSxmax[]()[]([]([]))()xposDxconfidencexDxposD（2）[]()max[]([])cov()xposDxDxeragePRSUmaxmax[]()([])cov([]([]))xposDDxeragexDxU（3）()()posDgeneralityPRSU（4）cost:1112()()(1())RPRSconfidencePRSconfidencePRSmax[]()[]([]([])).()xposDxRxDxposD设BRS是所有Boundaryrule构成的集合。（1）[]()max[]()[]([])