二元函数极值的定义

YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法一、极值设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点),(yx：若满足不等式00(,)(,)fxyfxy，则称函数在),(00yx有极大值；若满足不等式00(,)(,)fxyfxy，则称函数在),(00yx有极小值；1、二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法例1处有极小值．在函数)0,0(4322yxz例２处有极大值．在函数)0,0(22yxz例３处无极值．在函数)0,0(xyz(3)(2)(1)YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法定理1（必要条件）设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00yxfx，0),(00yxfy.2、多元函数取得极值的条件不妨设),(yxfz在点),(00yx处有极大值,则对于),(00yx的某邻域内任意),(yx),(00yx证故当0yy，0xx时，00,,fxyfxy都有000,,.fxyfxy有YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法说明一元函数),(0yxf在0xx处有极大值,必有0),(00yxfx;类似地可证0),(00yxfy.推广：如果三元函数),,(zyxfu在点),,(000zyxP具有偏导数，则它在),,(000zyxP有极值的必要条件为0),,(000zyxfx，0),,(000zyxfy，0),,(000zyxfz.YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法例如，点)0,0(是函数xyz的驻点，但点(0,0)不是极值点.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点偏导数存在的极值点注意：;0)0,0(,xxzyz.0)0,0(,yyzxzYunnanUniversity§1.极值与最小二乘法函数在偏导数不存在的点仍然可能有极值。,0,,0.xxzxx例：001,00,1,0.xzzzxxxxxx显然，的点都是极小点，但时，时，时因此在时偏导数不存在2:.定理极值点必为驻点或至少有一个偏导数不存在的点YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法定理3（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又0),(00yxfx,0),(00yxfy，令Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则(1)02BAC时具有极值，且当0A时有极大值，当0A时有极小值；(2)02BAC时没有极值；(3)02BAC时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法00,,fxyxy设在点取到极值，则0000,,ffxxyyfxy则2200002001(,2,2,)xyxyyfxxyyxfxxyyxyfxxyyy22000000,,,,,,xyxyAfxyBfxyCfxy00,xxfxxyyA则00,xyfxxyyBYunnanUniversity§1.极值与最小二乘法00,yyfxxyyC0,0xy且当时，0，0，0222211(2)(2)22fAxBxyCyxxyy2220KfAxBxyCy当时，000,.MxyfKf存在的一个邻域，使得在这个邻域内，的符号与的符号相同222KfAxBxyCy对于二次型，2HACB记YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法利用高等代数的知识，得到下面的结论。10,0,0,0,0,HAHAH（）取到极大值；（2）取到极小值；（3）无极值；（4）待定.YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法求函数),(yxfz极值的一般步骤：第一步解方程组,0),(yxfx0),(yxfy求出所有驻点.第二步对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步定出2BAC的符号，再判定是否是极值.YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法例4求函数xyyxyxf3),(33的极值。解,33),(2yxyxfx.33),(2xyyxfy求解方程组：.033,03322xyyx得驻点.,22xyyx).1,1(),0,0(,6),(xyxfxx,3),(yxfxy.6),(yyxfyy,)0,0(处在,0)0,0(xxfA,3)0,0(xyfB.0)0,0(yyfC92BAC.0因此，驻点.)0,0(不是极值点YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法,)1,1(处在,06)1,1(xxfA,3)1,1(xyfB.6)1,1(yyfC22)3(66BAC.027因此，驻点.)1,1(是极小值点.111311)1,1(33f极小值YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数22yxz.)0,0(处取得极小值在处偏导数但函数在)0,0(不存在。YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3、多元函数的最值YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法例5求122yxyxz的最大值和最小值.,0)1()(2)1(22222yxyxxyxzx,0)1()(2)1(22222yxyxyyxzy得驻点)21,21(和)21,21(,解令因为01lim22yxyxyxYunnanUniversity§1.极值与最小二乘法即边界上的值为零.,21)21,21(z,21)21,21(z所以最大值为21，最小值为21.无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法解厘米24xxxxx224槽的梯形截面面积为221(,)[(242)(2422cos)]sin2(242cos)sin24sin2sinsincosSxxxxxxxxxxx624x例有一块薄铁皮，宽厘米，把两边折起，做成一槽，求和倾角，使槽的梯形截面的面积最大?YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法2222224sin4sin2sincos024cos2cossincos0SxxxxSxxxx解方程组，得符合题意的唯一一组稳定点问题归结为求的最大值，先求稳定点S8,3x由于在这个问题中，最大值必达到，因此当08,60x厘米时，槽的梯形截面积最大，这时截面积为2396483832S厘米YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法二、最小二乘法1122111222,,,,...,,,,,,,nnnnnnxTxTxTTaxbTaxbTaxb测得一组数据为用＝＝＝21,,niiiTaxb表示相应的偏差这些偏差的平方和叫做总偏差，记为即＝,由极值的必要条件令YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法00ab解之,得1112211nnniiiiiiinniiiinxTxTanxxYunnanUniversity§1.极值与最小二乘法211112211nnnniiiiiiiiinniiiiTxxxTbnxx,,abTaxb有了就可以确定最小二乘关系式YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法.Taxb解：设最小二乘关系式为则总偏差为321222242.iiiTaxbbabab10620066120abaabb令YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法20ab解得2.Tx所求的关系式为注：最小二乘法主要用在生产实践中。YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法YunnanUniversity§1.极值与最小二乘法