等比数列求和公式

2.4.2等比数列的求和公式(第一课时)等比数列前n项和公式知识点基本内容基本公式等比数列前n项和公式Sn＝q＝1＝q≠1根据q是否为1，有两种形式基本方法推导等比数列前n项和的方法错位相减法：解决由等比数列与等差数列对应项的积组成的数列求和问题两边乘公比，错位相减na1a11－qn1－qa1－anq1－q新课讲解1．应用等比数列前n项和公式时应注意什么事项？提示：在应用等比数列求和公式时，应分q＝1与q≠1两种情况分别求解；若q≠1，要说明为什么q≠1.公式理解2．当q≠1时，等比数列的前n项和公式有两种形式Sn＝a11－qn1－q及Sn＝a1－anq1－q，应用时应如何选择？提示：已知a1，q，n且q≠1时用Sn＝a11－qn1－q，已知a1，q，an且q≠1时，用公式Sn＝a1－anq1－q.3．等比数列前n项和的公式是如何推导的？提示：设Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an①则把①式两边同乘以q得：qSn＝a1q＋a2q＋a3q＋…＋an－1q＋anqqSn＝a2＋a3＋a4＋…＋an＋an＋1②①－②得(1－q)Sn＝a1－an＋1∴当q≠1时，Sn＝a1－an＋11－q＝a1(1－qn)1－q.又当q＝1时，∵a1＝a2＝…＝an，∴Sn＝na1.类型一等比数列前n项和公式的基本运算[例1]在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n.例题讲解解：(1)由题意知a11＋q＝30，a11＋q＋q2＝155，解得a1＝5，q＝5，或a1＝180，q＝－56.从而Sn＝14×5n＋1－54或Sn＝1080×[1－－56n]11.(2)由Sn＝a11－qn1－q，an＝a1·qn－1以及已知条件得189＝a11－2n1－2，96＝a1·2n－1，∴a1·2n＝192，即2n＝192a1，∴189＝a1(2n－1)＝a1(192a1－1)，∴a1＝3,2n－1＝963＝32，∴n＝6.[例2]已知等比数列{an}中，an0，Sn＝80，S2n＝6560，则前n项中最大项为54，求n.1.(1)等比数列{an}中，q＝－12，S5＝11，则a1，a5分别为()A．14,1B．16，－1C．16,1D．14，－1(2)设等比数列{an}的公比q1，前n项和为Sn，已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．跟踪练习解析：(1)S5＝a1[1－－125]1－－12＝11⇒a1＝16，a5＝a1·q4＝16×(－12)4＝1.(2)由题设知a1≠0，Sn＝a11－qn1－q(q1)，则a1q2＝2①a11－q41－q＝5×a11－q21－q②由②得1－q4＝5(1－q2)，(q2－4)(q2－1)＝0.(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0，因为q1，解得q＝－1或q＝－2.当q＝－1时，代入①得a1＝2，通项公式an＝2×(－1)n－1；当q＝－2时，代入①得a1＝12，通项公式an＝12×(－2)n－1.综上，当q＝－1时，an＝2×(－1)n－1.当q＝－2时，an＝12×(－2)n－1.答案：(1)C(2)见解析2.已知数列{an}等比(1)若S3+S6=2S9，求q(2)若a0,比较S7a8与S8a7的大小。类型二求和方法——错位相减法[例3]设数列{an}等比，满足a2＝41，a5＝2.(1)求数列{a3n-1}的前n项和；(2)求数列{anan+1}的前n项和；(3)求数列{(2n+1)an}的前n项和。[例4]设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.例题讲解解：(1)由已知得，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1.①从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1.即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．1.求和Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan.解：分a＝1和a≠1两种情况．当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12；当a≠1时，Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan，上式两边同乘以1a，得1aSn＝1a2＋2a3＋…＋n－1an＋nan＋1，跟踪练习两式相减，得(1－1a)Sn＝1a＋1a2＋…＋1an－nan＋1，即Sn＝aan－1－na－1ana－12.综上所述，得Sn＝nn＋12，a＝1，aan－1－na－1ana－12，a≠1.2.已知数列{bn}前n项和为Sn，且bn=2-2sn,数列{an}是等差数列,a5=,a7=.(1)求{bn}的通向公式。(2)若cn=an.bn,n=1,2,3…..求；数列{cn}前n项和Tn2527类型三等比数列的综合应用例题讲解[例5]设数列{an}的相邻两项an，an＋1是方程0)21(2nnxbx的两根，又a1=2求数列{bn}的前n项和Tn.跟踪练习1.设数列{an}的首项a1=a≠41，且为奇数为偶数nanaannn,41,211，bn=a2n-141(1)求a2，a3(2)判断{bn}是否为等比数列，并证明。2.已知数列{an},{bn}中，a1=b1=1，a2=b2=2，a3=b3=4，(1)若{an－an-1}是等差数列，求an(2)若{bn－bn-1}是等比数列，求bn类型四等比数列前n项和公式在实际中的应用[例6]已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；例题讲解(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15＝1.6)解：设第n年末实际住房面积为an(n∈N*)．(1)由题意，则a1＝1.1a－b(m2)．a2＝1.1a1－b＝1.1(1.1a－b)－b＝1.21a－2.1b(m2)(2)a3＝1.1a2－b＝1.1(1.12a－1.1b－b)－b＝1.13a－1.12b－1.1b－ba4＝1.1a3－b＝1.1(1.13a－1.12b－1.1b－b)－b＝1.14a－1.13b－1.12b－1.1b－ba5＝1.1a4－b＝1.1(1.14a－1.13b－1.12b－1.1b－b)－b＝1.15a－1.14b－1.13b－1.12b－1.1b－b＝1.6a－b1－1.151－1.1＝1.6a－6b由题意1.6a－6b＝1.3a，解得b＝a20，所以每年拆除的旧住房面积为a20m2.1.水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．已知西部某地区有耕地3000万亩需要退耕还林，国家确定2000年在该地区退耕还林的土地面积为300万亩，以后每年退耕还林的土地面积比上一年递增20%.那么从2000年起，到哪一年该地区基本解决退耕还林问题？(计算时取log1.23＝6)跟踪练习解：设该地区从2000年起每年退耕还林的面积组成一个数列{an}，由题意，得an＋1＝an(1＋20%)，∴{an}是首项为a1＝300，公比为1.2的等比数列．设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝3000.∴3001.2n－11.2－1＝3000.∴1.2n＝3，解得n＝log1.23＝6.故到2005年该地区基本解决退耕还林问题．易错点：忽略q的取值范围而导致出错[错题展示]已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.[错解]由等比数列的前n项和公式，得S3＝a11－q31－q＝21－q31－q＝6，解得q＝－2.此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8，综上所述，q＝－2，a3＝8.[错因分析]在上面的求解过程中，没有讨论公比q是否为1，就直接使用了等比数列的前n项和公式Sn＝a1(1－qn)1－q，从而有可能出现漏解情况．[正解]若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．此时，q＝1，a3＝a1＝2.若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，得S3＝a11－q31－q＝21－q31－q＝6，解得q＝1(舍去)或q＝－2.此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.[反思]在使用等比数列的前n项和公式解题时，要注意对公比q是否为1进行讨论．当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1(1－qn)1－q.1．在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．知识总结2．在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1，由非常数列的等比数列的前n项和Sn＝a11－qn1－q＝－a11－qqn＋a11－q，可以看出，式子的组成是由一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数，由此可以根据前n项和公式判断等比数列，即非常数列的等比数列是Sn＝aqn－a(a≠0，q≠1，n∈N*)的等价条件．3．在含字母参数的等比数列求和时，应分q＝1与q≠1两种情况进行讨论．1．等比数列{an}的公比q＝2，首项a1＝2，则Sn等于()A．n2＋nB．n2－nC．2n＋1－2D．2n－1解析：Sn＝21－2n1－2＝2n＋1－2.答案：C随堂练习2．在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为()A．514B．513C．512D．510解析：由题意，得a1＋a1q3＝18，a1q＋a1q2＝12，解得q1＝2，q2＝12，q3＝－1，q2，q3不合题意，舍去．∴q＝2，a1＝2.∴S8＝a11－q81－q＝2×1－281－2＝510.答案：D3．设等比数列{an}的公比q＝12，前n项和为Sn，则S4a4＝________.解析：S4a4＝a11－q41－qa1q3＝1－q41－qq3＝1－1241－12×123＝15.答案：154．已知等比数列{an}中，an0，n＝1,2,3，…，a2＝2，a4＝8，则前5项和S5的值为________．解析：易求得q＝2，a1＝1.∴S5＝1－251－2＝31.答案：315．求Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．解：当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12；当x≠1时，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1.∴(1－x)Sn＝x1－xn1－x－nxn＋1.∴Sn＝x1－x2[nxn＋1－(n＋1)xn＋1]．∴Sn＝nn＋12x＝1，x1－x2[nxn＋1－n＋1xn＋1]x≠1.2.4.2等比数列的求和公式(第二课时)1．等比数列前n项和的性质性质一：若某数列前n项和公式为Sn＝an－1(a≠0，a≠±1，n∈N*)，则{an}成数列．等比新课讲解性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则①Sn＋m＝Sn＋.②在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则S偶S奇＝.③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成数列．qnSmq等比2．等比数列前n项和公式的函数观点(1)当公比q≠1时，等比数列的