第六章 曲线曲面

1第六章曲线曲面章节目录第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第八节曲线的形成及投影曲面的形成和表示法曲面立体的投影曲面立体的切平面平面和曲面立体相交直线和曲面立体相交平面立体和曲面立体相交两曲面立体相交第九节有导线导面的直纹曲面第十节螺旋线和螺旋面学习内容及学习重点学习内容：曲线的形成曲线的投影四心扁圆法学习重点：曲线的投影四心扁圆法第一节曲线的形成及投影一、曲线的形成曲线可以看做是点运动的轨迹。平面曲线：点在一个平面内运动所形成的曲线叫做平面曲线，如圆、椭圆、双曲线和抛物线等；空间曲线：点不在一个平面内运动所形成的曲线叫做空间曲线，如圆柱螺旋线。二、曲线的投影1.平面曲线的投影与平面曲线对投影面的相对位置有关。图示中平面内的的一个圆，由于它所在的平面与投影面的位置不同，其投影也不同。（1）圆所在的平面平行于投影面，则圆的投影反映实形（成为同样大小的圆）。（2）圆所在的平面倾斜于投影面，则圆的投影不反映实形（变为椭圆）。（3）圆所在的平面垂直于投影面，则圆的投影积聚成一直线（其长度等于直径）。2.空间曲线的投影在任何情况下都不会有直线，而是曲线，不能反映实际形状。HAⅠⅡⅢⅣⅤBa12345b无论平面曲线或空间曲线，若直线和曲线相切，则此直线的投影仍旧与该曲线的同面投影相切。绘制曲线的投影，一般是先画出曲线上一系列点的投影，特别是首先画出控制曲线形状和范围的特殊点的投影，然后把这些点的投影光滑连接起来。[例题]：求作一个位于正垂面P上的圆周的投影，已知圆心O的投影及直径D的长度。分析：所给平面P垂直于V面，对H面倾斜成α角，所以P面内的圆，在V面上的投影积聚成一直线并重合在Pv上，长度等于D；在H面上投影变形成为椭圆。此椭圆的长轴是圆内一条垂直于V面的直径的投影，长度等于直径D；短轴是圆内一条平行于V面的直径的投影，长度等于直径Dcosα。PVoabdcc’a’(o’、b’)d’作图步骤1.过o’在Pv上截取o’c’=o’d’=D/2，得c’d’，即为所作圆周的正面投影2.再过o作铅垂联系线，并截取oa=ob=D/2，得长轴ab；3.过o作水平线与过c’和d’向下引的铅垂联系线相交，得短轴cd；4.最后用“四心扁圆法”作椭圆，即为所求圆周的水平投影D/2D/2三、四心扁圆法若已知椭圆的长、短轴的端点，可运用“四心扁圆法”近似地作出椭圆。作图步骤如下：（1）（2）（3）（4）（5）（6）aba′b′cdd′c′Ⅰ′Ⅱ′ⅠⅡⅣ′Ⅲ′ⅢⅣoo′【例题】在四边形平面上，以O为圆心，半径R=30，作圆的两面投影。小结圆的投影曲线的投影四心扁圆法学习内容及学习重点学习内容：回转曲面有导向导面的直纹曲面学习重点：曲面的形成曲面的投影第二节曲面的形成和表示法曲线可以看做是线运动的轨迹。运动的线叫做母线。母线的形状以及母线的运动形式是形成曲面的条件。母线的运动形式包括两种：（1）母线（直线或曲线）绕一条固定的直线回转，所形成的曲面叫做回转曲面。固定的直线叫做回转轴。母线和轴是确定回转面的要素。一、曲面的形成和表示法（2）母线是直线，它在固定的直线或曲线上滑动，所形成的曲面叫做有导线的直纹曲面；如果母线在滑动时，又始终平行于某一固定的平面或曲面，这样形成的曲面叫做有导线导面的直纹曲面。母线、导线和导面是确定这种曲面的要素。回转曲面有导线导面的直纹曲面一、曲面的形成和表示法为在投影图上确定一曲面，需给出确定此曲面的各要素的投影。还必须画出曲面各外形轮廓线的投影。曲线的外形轮廓线：是该曲面在某一个投影方向上的最大范围线。不同投影方向，就有不同的外形轮廓线。它们在相应投影面上的投影，就是该曲面的各投影轮廓线；并且曲面的外形轮廓线还是曲面可见部分和不可见部分的分界线。图示的回转曲面，其母线是一段圆弧曲线。当母线绕轴旋转时，母线的每一个位置都叫素线；母线上每一个点都画出一个垂直于轴并且中心在此轴上圆，这种圆叫做纬圆。回转曲面实际上是由一系列素线或一系列纬圆组成。1.回转曲面回转曲面有如下两条特性：（1）经过轴的平面必和曲面相交于以轴为对称的两条素线；（2）垂直轴的平面必和曲面相交于一个纬圆。1.回转曲面水平投影：在H面上的投影是三个圆，其中：最大的一个圆（赤道圆)的投影；最小的一个圆是最小纬圆(喉圆)的投影；中间一个圆是曲面的上底圆的投影。(1)投影特点：正面投影：曲面的正面外形轮廓线N是位于过轴线的正平面上的两条素线，它们投影在V面上不变形，成为曲面正面投影的轮廓线n’。正面投影上垂直于轴线的直线是曲面上底圆的投影。(2)注意：曲面某一投影方向的轮廓线，对另外的投影方向就不处于轮廓线的位置，所以它在另外投影面上的投影不应画出来。如图，正面轮廓线在水平投影中就不画出。规定：回转曲面的轴线的正面(或侧面)投影用点划线画出；轴线的水平投影是一个点，即回转曲面水平投影——圆的中心，为确定这个中心，需作“十”字相交的两条点划线(叫做中心线)。轴线(3)回转面上定点（纬圆法）：步骤：1.过m’作水平纬圆的正面投影（一条水平直线），由此确定纬圆半径R；2.根据半径R，在曲面的水平投影上作出纬圆的水平投影；3.由m’向下引铅垂联系线，与所作纬圆的水平投影的前半圆相交，得m。m’mR2.有导线导面的直纹曲面图示的直纹曲面的导线有两条：一条是垂直于H面的直线AB，另一条是平行于V面的半圆CDE。母线为BC，它运动时除了两端必须沿两条导线滑动以外，还必须始终平行于水平面H。曲面上每一条素线都是水平线。ABCDE(1)投影特点：绘制有导线导面的直纹曲面的投影图，首先要作出确定曲面的各要素—即母线BC、导线AB及半圆CDE的投影，然后作出能表示曲面范围的轮廓线BC和BE的投影。(2)直纹曲面上定点（素线法）：步骤：1.在水平投影上过m点作一条素线的投影12（通过ab）并与导线的投影cde相交于2；2.由2向上作铅垂联系线，在c’d’e’上得出2’，由2’引一条水平线，即得素线ⅠⅡ线的正面投影1’2’（平行于OX轴）；3.再由m向上作铅垂联系线，在1’2’上得出m’。m21、2’1’m’小结有导线导面的直纹曲面回转曲面§6—2曲面的形成和表示法第三节曲面立体的投影学习内容及学习重点学习内容：曲面立体的形成（圆柱、圆锥、球、环、单叶回转双曲面）曲面立体的投影（圆柱、圆锥、球、环、单叶回转双曲面）学习重点：曲面立体的投影曲面立体表面取点方法（素线法、纬圆法）由曲面包围或者由曲面和平面包围而成的立体，叫做曲面立体。圆柱、圆锥、球和环是工程上最常用的最简单的曲面立体，由于包围这种立体的曲面都属于回转曲面，所以又统称回转体。第三节曲面立体的投影基本回转体曲面立体同平面立体的区别在于它有曲面。因此，画曲面立体的投影在于画出曲面的外形轮廓线的投影。回转体的投影画法：水平投影为一个圆。圆的半径等于圆柱的半径，圆心即为轴线的水平投影；正面和侧面投影均为相等的长方形，长方形的高等于圆柱的高，宽等于圆柱的直径。（1）圆柱体的组成两条平行线，以一条为母线另一条为轴线回转，即得圆柱面。一、圆柱由圆柱面和上、下底面围成的立体，就是圆柱体。（2）圆柱的三面投影图OO1A1A在V面上投影由转向轮廓线（最左、最右素线的正面投影）表达；是前、后半圆柱面的分界线的正面投影在W面的投影与轴线重合。在W面上投影由转向轮廓线（最前、最后素线的侧面投影）表达；是左、右半圆柱面的分界线的正面投影；在V面的投影与轴线重合。（3）轮廓线素线的投影（转向轮廓线）与曲面的可见性的判断（4）圆柱面上取点mm（m）利用投影的积聚性因为M点位在右半圆柱面上，所以它的侧面投影m不可见。12341″(3″)2″(4″)a″(a′)a1′2′3′4′在圆柱体表面的线和点，可利用圆柱面的积聚性求解。圆柱体表面上的线和点二、圆锥水平投影是一个圆（即圆锥底圆的水平投影），圆心即轴和锥顶的水平投影，半径等于底圆的半径；正面和侧面投影是相同的等腰三角形，此等腰三角形的高等于圆锥的高，底等于圆锥底圆的直径。（1）圆锥体的组成两条相交直线，以一条为母线另一条为轴线回转，即得圆锥面。由圆锥面和底面组成的回转体就是圆锥体。（2）圆锥的三面投影图OO1A1A正面投影的轮廓素线是圆锥最左、最右的两条轮廓素线的投影；侧面投影的轮廓素线是最前、最后的两条轮廓素线的投影。（3）轮廓线素线的投影（4）圆锥面上取点★纬圆法m纬圆半径如何取？mma′aa″（4）圆锥面上取点★素线法n过锥顶作一条素线。nna′aa″a′b′c′abc(a″)(b″)c″1″1″2′3′2″3″321圆锥体表面上的线和点三、球球的三面投影的轮廓线均为同样大小的圆。（1）球的形成球的表面可以看作是一个围绕着圆本身的一条直径旋转而成的回转表面。（2）球的三面投影图注意：球的三面投影的圆不是球面上同一个圆的投影。水平投影是最大纬圆（即赤道圆的投影），赤道圆把球体分成上下两半（上一半可见，下一半不可见）；（3）轮廓线素线的投影（转向轮廓线）与曲面的可见性的判断正面投影是平行于V面的素线的投影，此素线把球体分成前、后两半(前一半可见，后一半不可见；侧面投影是平行于W面的素线的投影，此素线把球体分成左、右两半(左一半可见，右一半不可见)。这三个圆的其他投影均都积聚成直线，重合在相应的中心线上。（4）球面取点（纬圆法）因为M点位在后半球面上，所以它的正面投影m不可见，用小黑点表示。mmmm″(m)m″abc(a′)(b′)(c′)a″b″(c″)n″n′n四、环水平投影轮廓线由赤道圆和喉圆的水平投影组成；正面投影的左、右是两个小圆（反映母圆的实形，有半个是看不见的，画成虚线），两个小圆的两条公切线分别是环面最上和最下两个纬圆的正面投影。（1）环的形成环的表面可以是一个圆绕着与圆共面的，但位在此圆外的一条直线旋转而成。（2）球的三面投影图轴线母线（3）环面取点（纬圆法）m′m(a′)a(a″)五、单叶回转双曲面（1）单叶回转双曲面的形成（a）以双曲线为母线，绕其虚轴旋转而成。（b）以两交错直线中的一条为母线，另一条为轴线旋转而成。（a）（b）（2）单叶回转双曲面的投影特点水平投影是两个同心圆，最小的圆即为喉圆的水平投影；正面投影是一条双曲线，它反映母线的实形。以双曲线为母线绕其虚轴旋转而成的回转面。（2）单叶回转双曲面的投影特点以两交错直线中的一条为母线，另一条为轴线旋转而成回转曲面。（2）单叶回转双曲面的投影特点设两交错直线AB和CD，其中CD为铅垂线，AB绕CD旋转，此时AB上的每一个点都绕CD作圆周运动，这些圆投影在V面上为直线。AB上距离CD最近的那一点M绕出一个最小的圆周（即喉圆），因此投影在V面上为一条最短直线。把V面上所得的一系列直线的端点（如a0′、m0′、b0′等）用曲线连接起来，就得到曲面的正面投影，它是一条双曲线。（2）单叶回转双曲面的投影特点假如取一条直线AB与原母经AB对称于通过轴CD的一个铅垂面Q，那么直线A1B2经过旋转（以CD为轴）也得原先的回转曲面。这就是说，在单叶回转双曲面上会有两族直线，每族都覆盖着整个曲面；并且第一族的直线与第二族的直线相交，而同一族的任何两条直线必交错。a1b1a1′b1′（3）单叶回转双曲面的特性必须指出，上述两种不同方式所形成的单叶回转双曲面，并不是各不相关而是互相联系的。在同一个单叶回转双曲面上，既可以有直线素线，又可以有双曲线素线。为作出直线素线，只要作铅垂面与喉圆相切，此铅垂面必截曲面于直线素线（两条）；为作出双曲线素线，只要过轴线作铅垂面，此铅垂面必截曲面于双曲线素线。小结曲面立体的投影及表面取点曲面立体的形成第四节曲面立体的切平面学习内容及学习重点学习内容：曲面立体切平面的定义即特点曲面立体切平面的作图方法学习重点：曲面立体切平面的作图方法设在回转曲面上取一个点A，过此点在曲面上作几条曲线L1、L2······再过此点向所作的曲线引切线AB、AC······则所有切线必位在一个平面P内。这个平面就是所给曲面在A点处的切平面。因此，曲面的切平面就是过曲面上一