平面应力状态理论

工程力学系第九章应力状态分析同一点各个方位上的应力大小和方向各不相同。某一点各个不同方位的截面上的应力及其相互关系，称为一点的应力状态一、一点应力状态二、单元体概念剪应力等于0的截面称为主平面；作用在主平面上的应力称为主应力。在构件内部取一个微分六面体，代表一个点，分析6个微面上的应力，这个微分六面体称为单元体yxzyxyzzyzxxzxy§9-1一点应力状态的概念工程力学系第九章应力状态分析三、应力状态分类三向应力状态（空间应力状态）：三个方向的主应力都不等于0;yxzyxyzzyzxxzxyyxyxxyxyyxxy二向应力状态（平面应力状态）：两个方向的主应力都不等于0;xx单向应力状态：只有一个方向的主应力都不等于0工程力学系第九章应力状态分析§9-2平面应力状态分析的解析法平面初始应力状态包括xyxyyx表示yxyxxyxyyxxy平面应力状态的简化表示yxyxxyxyyxxy工程力学系第九章应力状态分析一、任意斜截面上的应力从x轴方向逆时针为正拉应力为正；压应力为负绕单元体顺时针为正，反之为负设斜截面上的应力为yxyxxyxyyxxynt斜截面上的各参量的正负号规定nxxxyyyxt工程力学系第九章应力状态分析对三角形单元体建立平衡方程0nF(cos)cos(cos)sin(sin)sin(sin)cos0xxyyxydAdAdAdAdAnxxxyyyxt0tF(cos)sin(cos)cos(sin)cos(sin)sin0xxyyxydAdAdAdAdAcos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxy整理后工程力学系第九章应力状态分析二、主应力、主方位由斜截面上的应力表达式可知随角度不同而变化，都是的函数，由此可求正应力和剪应力的极值。、2sin2cos202xyxydd主平面、将的表达式对求导：0=可见在的截面上，正应力具有极值（最大或最小）0＝主应力工程力学系第九章应力状态分析0212xyxyarctg22maxmin022212xyxyxyxyxyarctg即平面应力状态主应力、主方位表达式0=令sin2cos202xyxy即022xyxytg得将上式带入的表达式：工程力学系第九章应力状态分析将的表达式对求导：三、剪应力极值、剪应力极值平面()cos22sin20xyxydd122xyxytg1122xyxyarctg将上式带入的表达式：22maxmin12122xyxyxyxyarctg即剪应力极值、剪应力极值平面表达式工程力学系第九章应力状态分析由主应力方位角和剪应力极值方位角可知022xyxytg122xyxytg0122tgtg01222014即：剪应力极值平面和主平面夹角为45°工程力学系第九章应力状态分析§9-3平面应力状态分析的图解法斜截面应力解析表达式cos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxy将公式的结构进行变换cos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxy222222xyxyxy一、应力圆方程工程力学系第九章应力状态分析222222xyxyxy发现此方程为圆方程，圆心半径,02xy222xyxy观察方程称此圆为应力圆。2xy222xyxyRO1O由于应力圆最早由德国工程师莫尔（otto.mohr,1835-1918）提出，故又称为莫尔圆。RAB工程力学系第九章应力状态分析二、应力圆作法(1)在坐标系内画出A1()xxy,(2)在坐标系内画出B1()yyx,O1(,)xxyAyxyxxy1(,)yyxB工程力学系第九章应力状态分析二、应力圆作法O1(,)xxyAyxyxxy1(,)yyxB(3)A1B1连线与轴交点即圆心O1(4)以O1为圆心，以O1A1为半径画圆1O工程力学系第九章应力状态分析例题2：已知某点应力状态如图，用解析法求并用图解法验证。oomaxmax3030minmin、、、40302522maxmin51.7()MPa36.722xyxyxymaxminmaxmin44.2MPa230cos60sin6049.7MPa22oxyxyooxy40MPa;25;30MPa;xyxy解：解析法求解30cos60sin6013.1MPa2oxyooxyo30o30工程力学系第九章应力状态分析O1(25,30)B1O1(40,30)AABQQ图解法验证403025Ko30(49.7,13.1)Coo3030，作应力圆以及主应力和剪应力极值的应力状态。查Q点和Q’点的横坐标数值，即可得到剪应力极值为±44.2MPa过K点作直线与x轴呈30°角，与圆的交点的坐标即查A点和B点的横坐标数值，即可得到主应力为51.7MPa和-36.7MPa工程力学系第九章应力状态分析§9-4三向应力状态简介只有主应力的三向应力状态称为三向主应力状态21321123一、三向主应力状态的应力圆O123工程力学系第九章应力状态分析1二、三向主应力状态的最大剪应力2max2o45最大剪应力由和决定1313maxmin2最大剪应力方位角，与相差45°1O123maxmin工程力学系第九章应力状态分析13212三、斜截面上的应力与三个主平面成任意角度的斜截面上的正应力和剪应力，可以用坐标系某一点的坐标值表示。O123xx该点位于三个应力圆所围成的阴影范围内。