高中数学选修1-1双曲线

双曲线及其标准方程1.椭圆的定义和等于常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹.平面内与两定点F1、F2的距离的1F2F0,c0,cXYOyxM,2.引入问题：差等于常数的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点F1、F2的距离的复习双曲线图象拉链画双曲线|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|0)①如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②如图(B)，上面两条合起来叫做双曲线由①②可得：||MF1|-|MF2||=2a（差的绝对值）|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——焦距.（1）2a2c；oF2F1M平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.（2）2a0；双曲线定义思考：（1）若2a=2c,则轨迹是什么？（2）若2a2c,则轨迹是什么？说明（3）若2a=0,则轨迹是什么？||MF1|-|MF2||=2a(1)两条射线(2)不表示任何轨迹(3)线段F1F2的垂直平分线F2F1MxOy求曲线方程的步骤：双曲线的标准方程1.建系.以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系2.设点．设M（x,y）,则F1(-c,0),F2(c,0)3.列式|MF1|-|MF2|=±2a4.化简aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222bac)0,0(12222babyax此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程12222byax12222bxayF2F1MxOyOMF2F1xy)00(ba，若建系时,焦点在y轴上呢?看前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上22,yx2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？问题定义方程焦点a.b.c的关系F（±c，0）F（±c，0）a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线F（0，±c）F（0，±c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab解：∴126PFPF∵焦点为12(5,0),(5,0)FF∴可设所求方程为:22221xyab(a0,b0).∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.所以点P的轨迹方程为221916xy.∵1210FF6,由双曲线的定义可知，点P的轨迹是一条双曲线,例1已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点P满足126PFPF,求动点P的轨迹方程.变式训练1:已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点P满足1210PFPF,求动点P的轨迹方程.解：∴1210PFPF轨迹方程为0(55)yxx或≥≤.∵1210FF,点P的轨迹是两条射线,变式训练2:已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点P满足126PFPF,求动点P的轨迹方程.变式2答案变式训练2:已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点P满足126PFPF,求动点P的轨迹方程.解：∴126PFPF∵焦点为12(5,0),(5,0)FF∴可设双曲线方程为:22221xyab(a0,b0).∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.所以点P的轨迹方程为221916xy(3)≥x.∵1210FF6,由双曲线的定义可知，点P的轨迹是双曲线的一支(右支),写出适合下列条件的双曲线的标准方程练习1.a=4,b=3,焦点在x轴上;2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)3.a=4,过点(1,)4103例2:如果方程表示双曲线，求m的取值范围.22121xymm解:方程表示焦点在y轴双曲线时，则m的取值范围_____________.22121xymm思考：21mm得或(2)(1)0mm由2m∴m的取值范围为(,2)(1,)使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合解:由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.例3.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.如图所示，建立直角坐标系xOy,设爆炸点P的坐标为(x,y)，则3402680PAPB即2a=680，a=340800AB8006800,0PAPBx1(0)11560044400xyx222800,400,ccxyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为44400bca222思考1:若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么?思考2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?答:爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.思考3:某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)PBAC分析:依题意画出图形(如图)只要能把巨响点满足的两个曲线方程求出来.那么解方程组就可以确定巨响点的位置.要求曲线的方程,恰当的建立坐标系是一个关键.xyo直觉巨响点的位置情况.解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A(－1020,0），B(1020,0），C(0,1020）.设P（x,y）为巨响点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360,由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线22221xyab的一支上，依题意得a=680,c=1020，22222210206805340bca∴双曲线的方程为222216805340xy用y=－x代入上式，得5680x，∵|PB||PA|,6805,6805,(6805,6805),68010xyPPO即故答:巨响发生在接报中心的西偏北450距中心68010m处.课堂练习(巩固及提高):1.已知在ABC△中,(5,0),(5,0)BC,点A运动时满足3sinsinsin5BCA,求点A的轨迹方程.几何画板演示第2题的轨迹221(3)916xyx练习第1题详细答案本课小结2.课本62P习题2.3A组第5题如图,圆O的半径为定长r,A是圆O外一定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?学习小结:本节课主要是进一步了解双曲线的定义及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标准方程解决问题,体会双曲线在实际生活中的一个重要应用.其实全球定位系统就是根据例2这个原理来定位的.运用定义及现成的模型思考,这是一个相当不错的思考方向.即把不熟悉的问题往熟悉的方向转化,定义模型是最原始,也是最容易想到的地方.1.已知动圆P⊙与221:(5)36Fxy⊙内切,且过点2(5,0)F,求动圆圆心P的轨迹方程.221(1)48xyy≤11.设12,FF是双曲线2214xy的两个焦点,点P在双曲线上,且满足1290FPF,那么12FPF△的面积是_______.2.已知点(0,7)A,(0,7)B,(12,2)C,以点C为焦点作过A、B两点的椭圆,求满足条件的椭圆的另一焦点F的轨迹方程.221(3)916xyx3sinsinsin,5BCA解:在△ABC中,|BC|=10，331061055ACABBC由正弦定理得故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支又因c=5，a=3，则b=41(3)916xyx22则顶点A的轨迹方程为课堂练习(巩固及提高):1.已知在ABC△中,(5,0),(5,0)BC,点A运动时满足3sinsinsin5BCA,求点A的轨迹方程.双曲线的几何性质2、对称性双曲线的几何性质1、范围22222211,xyxaabxaxa得或关于x轴、y轴和原点都是对称的.。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.xyo(-a,0)(a,0)(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)Ry0000yybbxyxybab2222xxxyaa由-0得或aba表示的平面区域内byxabyxa)0,0(12222babyax3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点xyo1B2B1A2A)0,()0,(21aAaA、顶点是如图，线段叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长2A1A2B1B（2）1A2A1B2Bxyoxabyxabya4、渐近线MNP22221byxaxyab(1)两条直线叫做双曲线的渐近线(2)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.22bxxaabPM=a22ya2x222axxab=a5、离心率e反映了双曲线开口大小e越大双曲线开口越大e越小双曲线开口越小cea1A2A1B2Bxyobyxabyxa(1)ca焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,记作e.（3）离心率范围：e1abtanba21baxyo22221(0,0)yxabab双曲线的几何性质-aab-b（1）范围:,,yayaxR（2）对称性:关于x轴、y轴、原点都对称（3）顶点:(0,-a)、(0,a)（4）渐近线:ayxb（5）离心率:acebyxa课堂小结:通过本节课的学习,你有哪些收获?1A2A1B2Bbyxabyxaab(1)由双曲线的图象得其几何性质;(2)求双曲线标准方程应先定型,再定量.