2013高考数学(文)一轮复习课件：函数的单调性与最值

第2讲函数的单调性与最值【2013年高考会这样考】1．利用函数的单调性求单调区间．2．利用函数的单调性求最值和参数的取值范围．【复习指导】本节复习时，首先回扣课本，应从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，重点解决：(1)函数单调性的判断及其应用；(2)求函数的最值；再者复习时也必须精心准备，对常见题型的解法要熟练掌握．基础梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，①若，则f(x)在区间D上是增函数；②若，则f(x)在区间D上是减函数．(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)增函数减函数2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意x∈I，都有；②存在x0∈I，使得结论M为最大值M为最小值f(x)≥Mf(x0)＝M一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝1x分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．两种形式设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么①fx1－fx2x1－x2＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；fx1－fx2x1－x2＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．五问一问自己(1)“函数在区间ba,上单调增”与“函数的递增区间是ba,”就一回事吗？NO(2)求值域有哪些方法？你能够说出6种以上吗？直接法、反函数法、配方法、换元法、均值不等式法，判别式法、单调函数法、三角代换法、复合函数法、导数法。(3)分段函数的值域怎样求？分段求再综合双基自测1．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝1－1x－1()．A．在(－1，＋∞)上单调递增B．在(1，＋∞)上单调递增C．在(－1，＋∞)上单调递减D．在(1，＋∞)上单调递减答案B2．若y＝(2k＋1)x＋b是R上的减函数，则有()．A．k＞12B．k＜12C．k＞－12D．k＜－12解析由题意，知2k＋1＜0.∴k＜－12.答案D3．如果二次函数y＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，那么()．A．a＝－2B．a＝2C．a≤－2D．a≥2解析二次函数的对称轴为x＝－13(a－1)，则－13(a－1)≥1.即a≤－2.答案C4．(2011·长春模拟)下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()．A．f(x)＝3－xB．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－1x＋1D．f(x)＝－|x|解析结合函数的图象可知C正确．答案C5．(2011·江苏)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是_______________________________________________．答案－12，＋∞考向一函数单调性的判断【例1】►判断函数f(x)＝x＋ax(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性．[审题视点]可采用定义法或导数法判断．解法一设x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝x1＋ax1－x2＋ax2＝(x1－x2)＋ax1－ax2＝(x1－x2)＋ax2－x1x1x2＝(x1－x2)1－ax1x2.当a≥x1＞x2＞0时，x1－x2＞0，1－ax1x2＜0，有f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，此时，函数f(x)＝x＋ax(a＞0)在(0，a]上为减函数；当x1＞x2≥a时，x1－x2＞0，1－ax1x2＞0，有f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，此时，函数f(x)＝x＋ax(a＞0)在[a，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f(x)＝x＋ax(a＞0)在(0，a]上为减函数；在[a，＋∞)上为增函数．法二f′(x)＝1－ax2，令f′(x)＞0则1－ax2＞0，∴x＞a或x＜－a(舍)．令f′(x)＜0，则1－ax2＜0，∴－a＜x＜a.∵x＞0，∴0＜x＜a.∴f(x)在(0，a)上为减函数；在(a，＋∞)上为增函数，也称为f(x)在(0，a]上为减函数；在[a，＋∞)上为增函数．对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解；(2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．【训练1】试讨论函数f(x)＝axx－1(a＞0)的单调性．解函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，∵f′(x)＝ax－1－axx－12＝－ax－12，∵a＞0，∴f′(x)＜0.故函数f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减．考向二求函数的单调区间【例2】►(2011·许昌高三调研)求函数y＝log12(x2－3x＋2)的单调区间．[审题视点]先确定定义域，再利用复合函数的单调性求解．解令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝log12u与u＝x2－3x＋2的复合函数．令u＝x2－3x＋2＞0，则x＜1或x＞2.∴函数y＝log12(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝32，且开口向上.∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y＝log12u在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y＝log12(x2－3x＋2)的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．判断函数的单调性要注意：(1)注意函数的定义域；(2)熟记基本函数的单调性，判断复合函数(或复杂函数)的单调性时要注意分解为基本函数来考虑．【训练2】函数y＝13＋2x－x2的单调递增区间是()．A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－1,1)D．(1,3)解析依题意3＋2x－x2＞0，即－1＜x＜3.∴函数的定义域为(－1,3)．又函数y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4在(1,3)上单调递减，所以原函数的单调递增区间是(1,3)．答案D考向三函数单调性的应用【例3】►(2012·昆明模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．[审题视点](1)将a值代入f(x)解析式，通过判断f(x)的单调性求最小值；(2)分a≥0和a＜0两种情况讨论．解(1)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2，在1，＋∞上为增函数，f(x)min＝f(1)＝72.(2)f(x)＝x＋ax＋2，x∈[1，＋∞)．①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数．最小值为f(1)＝a＋3.要使f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3＞0，即a＞－3，∴－3＜a≤0.②当0＜a≤1时，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1)＝a＋3.∴a＋3＞0，a＞－3.∴0＜a≤1.③当a＞1时，f(x)在[1，a]上为减函数，在(a，＋∞)上为增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上的最小值是f(a)＝2a＋2,2a＋2＞0，显然成立．综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3，＋∞)．(1)已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之，已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值和范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解．(2)不等式m＞f(x)恒成立⇔m＞f(x)max，m＜f(x)恒成立⇔m＜f(x)min.【训练3】(2011·江西)设f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax.(1)若f(x)在23，＋∞上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0＜a＜2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－163，求f(x)在该区间上的最大值．解(1)由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－x－122＋14＋2a，当x∈23，＋∞时，f′(x)的最大值为f′23＝29＋2a；令29＋2a＞0，得a＞－19.所以，当a＞－19时，f(x)在23，＋∞上存在单调递增区间．(2)已知0＜a＜2，f(x)在[1,4]上取到最小值－163，而f′(x)＝－x2＋x＋2a的图象开口向下，且对称轴x＝12，∴f′(1)＝－1＋1＋2a＝2a＞0，f′(4)＝－16＋4＋2a＝2a－12＜0，则必有一点x0∈[1,4]，使得f′(x0)＝0，此时函数f(x)在[1，x0]上单调递增，在[x0,4]上单调递减，f(1)＝－13＋12＋2a＝16＋2a＞0，∴f(4)＝－13×64＋12×16＋8a＝－403＋8a＝－163⇒a＝1.此时，由f′(x0)＝－x20＋x0＋2＝0⇒x0＝2或－1(舍去)，所以函数f(x)max＝f(2)＝103.难点突破3——函数最值问题的求解方法函数的最值也是函数最重要的性质之一，高考不但在选择题或者填空题中对此进行考查，还会出现在解答题中的某一问，如在应用问题以及数列、解析几何等问题中，甚至在函数导数的综合解答题中进行考查．函数的最值问题的考查形式主要有两种：一是求函数的最值，常见求函数最值的方法有：配方法、换元法、单调性法、数形结合法、基本不等式法及导数法等．注意：不论用什么方法求函数的最值均应考虑其定义域；二是已知函数最值，求参数的取值范围．一、配方法配方法是求二次函数最值的基本方法．【示例】►已知函数f(x)＝x2＋ax＋3在区间[－1,1]上的最小值为－3，求实数a的值．二、换元法所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它化归为简单的基本初等函数，从而使问题易于解决．【示例】►已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．三、单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后根据单调性求函数的最值，这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．【示例】►设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝________.四、数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，又可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径．因此，在学习中，我们对这种方法要细心研读，认真领会，并正确地应用到相关问题的解决之中．【示例】►对a，b∈R，记max|a，b|＝a，a≥b，b，a＜b.函数f(x)＝max||x＋1|，|x－2||(x∈R)的最小值是________．五、导数法设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为f(x)在(a，b)内的各极值与f(a)、f(b)中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．【示例】►函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________．请同学按时完成课后练