中值定理及导数的应用

第三章习题课中值定理及导数的应用一基本要求1、理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，会用他们证明一些等式或不等式。2、了解柯西中值定理及泰勒中值定理的条件和结论，会求简单函数的泰勒公式及麦克劳林公式。3、熟练掌握洛必达法则，并利用它求未定式的极限。4、理解函数单调性与导数正负号的关系，会判断函数的单调性。5、掌握极值的概念和求法，掌握最大(小)值的求法。6、了解函数图形的凹凸性与拐点的概念，并会判断曲线的凹凸性与拐点。7、了解微分作图法。二要点提示1、洛必达法则若在自变量某一变化过程中(或)，（1）为（）或（）型未定式；（2），可导，且；（3）存在或；则0xxx)()(limxgxf00)(xf)(xg0)(xg)()(limxgxf)()(lim)()(limxgxfxgxf运用洛必达法则求未定式极限时应该注意下述两点：(1)先检查法则的条件是否具备，特别要注意极限是否未定式，是否存在或。(2)配合使用其它求极限的方法，例如，化简、分子(分母)有理化、先求出非零因式的极限，等价无穷小替代等，以使运算简便。注：对于及，，型未定式，可通过变形转化为()或()型，再运用洛必达法则。)()(limxgxf)(),0(0001002、判定函数单调性的方法若，，则在上单调增加；若，，则在上单调减少。0)(xf),(bax)(xfy],[ba),(bax)(xfy],[ba0)(xf3、判定曲线凹凸的方法若，，则在上的图形是凹的；若，，则在上的图形是凸的。0)(xf),(bax)(xf],[ba0)(xf),(bax)(xf],[ba4、极值可能极值点为：驻点和不可导点。判定极值的方法：(1)第一种充分条件：设为可能极值点，考察两侧导数是否改变符号。(2)第二种充分条件：若，，则当时，在处取得极大值；当时，在处取得极小值。注：当时，方法失效。0)(0xf0x0x)(xf0)(0xf0)(0xf)(xf0x0)(0xf)(xf0x0)(0xf5、拐点连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点()。可能的拐点为：使和不存在时曲线上相应的点()。判定()是拐点的方法：考察左右两侧二阶导数是否改变符号。)(xfy)(,00xfx0)(0xf)(xf)(,xfx)(,00xfx0x)(xf三问题与思考问题1、下面例题方法对吗？（1）（2）不存在。02lim12lim1limlim2222121311xexexxexexxxxxxxxxxxxxxxxcos1cos1limsinsinlim答：均为错误。(1)不是未定式.事实上，。(2)应为（）说明：洛必达法则不是万能的。1lim012eexx21limxxxe1sin11sin11limsinsinlimxxxxxxxxxx0sin1limxxx问题2、如果在取得极值，是否必有？答：不一定。因为函数还可以在导数不存在的点取得极值。)(xf0x0)(0xf问题3、如果可导函数当时，有，则当，有，该结论正确吗？)(xfax0)(xfax0)(xf答：不对。因为当时，，只能说明当时是单调增加的，不能保证。例如，当时，，但当时，。ax0)(xf)(xfax0)(xfxxf1)(0x01)(2xxf0x01)(xxf问题4、利用导数证明不等式的常用方法有哪些？(1)利用拉格郎日的中值定理。例(2)利用函数的单调性,例:当时,(3)利用泰勒公式，同（2）。(4)利用函数的最大最小值。(5)利用函数图形的凹凸性。aababbabln20x331tanxxx四典型题目1、求极限(1)(2)(3)(4)xxxxcossec)1ln(lim20xexx10limxxxxxcba10)3(limnnnlnlim)(xf),(0)0()0(ff0,00,)()(xxxxfxg2、设在内具有二阶导数，且，试求的导数？3、证明：当时，。0x)1ln()1(1xxex4、试确定，使在处有极值为-2。ba,bxaxxxf23)(1x