线性方程组课件

线性代数LinearAlgebraBITFall2011Grading:Homework20%+Midterm10%+FinalExam70%Homework：Everystudentisrequiredtoturninawell-writtenhomeworkeachweek.ThehomeworkassignmentsaredueatthebeginningoftheclassonTuesdays.（每周二上课之前交前一周的作业）Midterm：第一章和第二章课程结束之后，随堂考试，占总成绩的10%课程大纲Chapter1:线性方程组Chapter2:行列式Chapter3：线性方程组的进一步理论Chapter4：矩阵的运算第一章线性方程组§1.1Gauss-Jordan算法一般的n元线性方程组：)(mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111未知数：nxxx,,,21系数：),,2,1,,2,1(njmiaji；常数项：mbbb,,,21一个解：元有序数组使（*）的所有方程变为恒等式。解集合：（*）的全部解的集合。不相容线性方程组：解集合为空集。线性方程组同解：解集合相同。通解（一般解）：解集合中全部元素的通项表达式。特解（具体解）：解集合中一个特定元素。nnncxcxcx,...,,2211解的存在性：解集合是否为空集。有解：解集合非空。解的唯一性：非空的解集合是否只有一个元素。有唯一解：解集合只含一个元素。非齐次线性方程组：不全为零齐次线性方程组：全为零mbbb,...,,21mbbb,...,,21线性方程组的中心问题（1）解的判别：确定存在性与唯一性（2）求解：确定解集合（3）解的结构：研究解之间的关系例解线性方程组)4(28)3(3443)2(2422)1(2622432143214321421xxxxxxxxxxxxxxx解21)1(：）（）（）（4283344322422)1(13432143214321421xxxxxxxxxxxxxxx）（）（）），（（）（）），（（）（）（411331221：)4(352)3(0542)2(022)1(13432432432421xxxxxxxxxxxx)4()2()2(),3()2()2(：)4(393)3(0)2(022)1(13434432421xxxxxxxxx)3()4(：123424344312209303xxxxxxxxx。由最后这个阶梯形方程组通过依次回代，解得0,1,2,14321xxxx。▌上例题求解过程总结：（1）求解线性方程组有两个过程：消元与回代（2）消元过程需对方程组做如下处理：（i）用一个非零数乘某一个方程（ii）一个方程的倍数加到另一个方程上（iii）互换两个方程的位置称上述三种处理为线性方程组的初等变换。（3）消元的目的是把原方程组化为阶梯形方程组（4）一个方程组被其系数与常数项唯一确定，且线性方程组的初等变换只涉及系数与常数项。通过观察可以发现，如果用数表28111344132421226022表示上例中的方程组，其中每行代表一个方程，则线性方程组的初等变换相当于此数表行之间的变换。一般地，定义nm个数(1,2,,1,2,,)ijaimjn；排成m行n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为mn矩阵。通常记作nmijnmaAAA)(,,，其中ija称为矩阵A的第i行第j列元素。若m=n，则称A为方阵；n行n列的方阵称为n级矩阵。对一般的线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222222111212111（*）分别称,11121111211212222122221212nnnnmmmnmmmnmaaaaaabaaaaaabAAaaaaaab为方程组（*）的系数矩阵与增广矩阵。回顾：解线性方程组的过程增广矩阵的每行对应方程组中的一个方程，故方程组的初等变换等同于对增广矩阵的行作下列变换：（1）用一个非零数乘某一行的全部元素（2）一行的倍数加到另一行上（3）互换两行的位置称上述对矩阵行的处理为矩阵的初等行变换。结论：方程组的初等变换增广矩阵的初等行变换更进一步，阶梯形方程组的增广矩阵也具有相同的形式：（1）零行（所有元素均为零的行）全部在下方，非零行（至少有一个元素不为零的行）全部在上方（2）非零行的首非零元（也称主元，即行中第一个不为零的元素）随着行标的增大其列标也严格增大称上述形式的矩阵为阶梯形矩阵。结论：增广矩阵为阶梯形矩阵方程组为阶梯形方程组例解线性方程组28344324222622432143214321421xxxxxxxxxxxxxxx解2811134413242121301128111344132421226022121~RA413121423234(1)(3)(2)(2)(2)103101220024500215310310220001110100039310310220009311300100RRRRRRRRRRR阶梯形矩阵对应的线性方程组为039302213443432421xxxxxxxxx，由此解出0,1,2,14321xxxx。▌矩阵初等行变换的表示及提示符：ijRA：互换矩阵A的第i行与第j行ikRA：用非零数k去乘A的第i行元素jiRkRA：把A的第i行的k倍加到第j行以后，还将用,,ijijiCkCCkC分别表示三种初等列变换。Gauss-Jordan消元法线性方程组→增广矩阵~A方程组的↓初等变换矩阵的↓初等行变换阶梯形方程组←阶梯形矩阵↓求解例1解线性方程组43322221321321321xxxxxxxxx。例2解线性方程组283543324222135432154321543215321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx。§1.2线性方程组解的情况及判别定理方程组的初等变换把一个线性方程组变成另一个同解的线性方程组。定理任一矩阵均可通过有限次初等行变换化为阶梯形矩阵。给定线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222222111212111（*）则它的增广矩阵为11121121222212nnmmmnmaaabaaabAaaab假设用初等行变换可以化为A~00000000000000000001222111121122rrrjjjjjddcdccdccccrrr其中都不为0.不难看出上述矩阵对应的阶梯形方程组为rrjjccc,...,,22110001222211121211122rrnrnjrjnnjjjjnnjjddxcxcdxcxcxcdxcxcxcxcrrrrrr情形一：此时阶梯形方程组中出现了这种矛盾方程，因此阶梯形方程组无解。01rd10rd情形二：子情形一：则上述阶梯形方程组为01rdnrnnnnnnnndxcdxcxcdxcxcxc2222211212111其中均不为零，所以通过回代可唯一确定的取值，即方程组有唯一解。子情形二：设为除之外的个自由未知量。则上述阶梯形方程组为nnccc,...,,2211nxxx,...,,21nrrniiixxx,...,,21rjjxxx,...,,21rn其中均不为零。只要给定的值，则通过回代可唯一确定的取值，从而得到方程组的解。因为可取无穷多组值，所以方程组有无穷多个解。rrjjccc,...,,2211rniiixxx,...,,21rjjxxx,...,,21rnrnrrnrnrrrnrnrririirirrrjiiiijrjjjiiiijjjjxcxcdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxc1111221122222211111111通过上述讨论我们得到定理：就阶梯形方程组而言1．有矛盾方程：无解；2．无矛盾方程：有解；（1）方程个数=未知数个数：解唯一；（2）方程个数未知数个数：解无穷多：例解齐次线性方程组0433203220432143214321xxxxxxxxxxxx注：（1）通常总是取非主元未知数为自由未知数(系数不是阶梯形矩阵主元的未知数)；（2）阶梯形方程组不含“0=0”的方程。（3）对齐次方程组消元时，只需对系数矩阵进行初等行变换推论1阶梯形齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为方程的个数少于未知数的个数。推论2若齐次线性方程组中方程的个数少于未知数的个数，则其必有非零解。因为任一线性方程组都可化为同解的阶梯形方程组，所以上述定理使我们得到了对方程组的解进行判别的有效方法。例讨论参数a的取值与解的关系23213213211aaxxxaxaxxxxax。例某大学数学系组织全校三年级学生进行数学建模比赛，比赛以组为单位进行。在分组过程中发现，若3个人一组，最后剩余2人，若5人一组，则最后余3人；若7人一组，最后也余2人。已知全校三年级学生人数在800到1000之间。问全校三年级学生有多少人？§1.3数域定义设K是数的集合，若其满足（1）0,1K（2）,abK，均有,,,(0)ababababbK，则称K是数域。Q，有理数域；R，实数域；C，复数域集合njmiKaaijnmij,,2,1;,,2,1,|)(可记为nmK或)(KMnm。注：（1）任意数域都包含有理数域；（2）数域有很多个。小结：（1）熟练掌握矩阵用初等行变换化阶梯形；（2）熟练掌握用Gauss-Jordan消元法对线性方程组的解进行判别与求解。作业：习题1.1：1.（2）（3），2习题1.2：2，6，8