中职数学复习-任意角的三角函数.

§5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数考纲要求：理解任意角三角函数的概念（正弦、余弦、正切）知识要点(1)任意角的三角函数定义设是一个任意角，角的终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r(r0）,那么角的正弦、余弦、正切分别是：它们都是以角为自，以比值为的函数.(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：.sin,rycos,rxtan,xy变量函数值一全正、二正弦、三正切、四余弦3.三角函数线设角的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M,则点M是点P在x轴上的.由三角函数的定义知，点P的坐标为,即,其中=,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则.我们把有向线段OM、MP、AT叫做的、、.)sin,(cos)sin,(cosPcosOMsin,MPtanAT余弦线正弦线正切线正射影三角函数线有向线段为正弦线有向线段为余弦线有向线段为正切线MPOMAT考题再现1.若角终边上一点P的坐标是(-3,4),则cos等于()2.满足sina0且tana0的角a所在的象限是（）3.角终边过点(-1,2),则cos等于（）552.D55.C552.B55.A解析,52)1(22r.5551cosrx由定义C4.已知角的终边经过点(，-1),则角的最小正值是（）43.D65.C611.B32.A解析,2)1()3(22r.611,.23cos的最小正值是是第四象限角又由题意知则rxB3已知角的终边在直线3x+4y=0上,求的值.本题求的三角函数值.依据三角函数的定义,可在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0),求出r,由定义得出结论.tan,cos,sin思维启迪例4解,043上的终边在直线角yx,5,0|,|5)3()4(,3,4),0)(3,4(2222trttttyxrtytxtttP时当则的终边上任取一点在角.43tan,54cos,53sin,0;43tan,54cos,53sin,0,.4343tan,5454cos,5353sin,5,0;4343tan,5454cos,5353sin时时综上可知时当ttttxyttrxttrytrtttxyttrxttry某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定.但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组要分别求解.知能迁移1设为第四象限角,其终边上的一个点是P（x，-），且解∵为第四象限角，∴x0，且探究提高.tansin,42cos和求x,52xr.315tan,410sin,8,3:,425cos2故解得则rxxxx5例5：判断符号：(1)sin340°·cos265°；(2)sin4·tan－23π4.解析：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin340°＜0，cos265°＜0，∴sin340°·cos265°＞0.(2)∵π＜4＜3π2，∴4弧度角在第三象限，∵－234π＝－6π＋π4，∴－234π弧度角在第一象限．三角函数值“符号看象限”，在使用这一结论时，要结合具体函数，如第二象限角α，其正弦为正，而余弦为负，就往往因被忽视而致错．∴sin4＜0，tan－23π4＞0.∴sin4·tan－23π4＜0.(1)熟练掌握三角函数的符号法则是解决此类问题的关键.(2)由三角函数符号判断角所在象限,在写角的集合时,注意终边相同的角.知能迁移2若则角的终边落在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析探究提高,0cossin,0sincostan.,0cos,0cossin的终边落在第三象限角又C,0costan且题型三三角函数线及其应用例6：在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:作出满足的角的终边,然后根据已知条件确定角终边的范围..21cos)2(;23sin)1(思维启迪21cos,23sin解(1)作直线交单位圆于A、B两点,连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角的终边的范围,故满足条件的角的集合为(2)作直线交单位圆于C、D两点,连结OC、OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为23y.,32232|Zkkk21x.,342322|Zkkk本题的实质是解三角不等式的问题：（1）可以运用单位圆及三角函数线；（2）也可以用三角函数图象.体现了数形结合的数学思想方法.探究提高知能迁移3求下列函数的定义域：).sin43lg()2(;1cos2)1(2xyxy解.21cos,01cos2)1(xx由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).).(32,32Zkkkx.23sin23,43sin,0sin43)2(22xxx利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),).(3,3Zkkkx1．角α的终边过点P(－1,2)，则sinα＝()A.55B.255C．－55D．－255解析：选B.r＝－12＋22＝5.∴sinα＝yr＝25＝255.练习2．若sinα0且tanα0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：C3．(教材习题改编)若角α的终边经过点P(－3，m)，且sinα＝34m(m≠0)，则cosα＝__________.答案：－344.有下列命题:(1)终边相同的角的同名三角函数的值相等;(2)终边不同的角的同名三角函数的值不等;(3)若sinα0,则α是第一､二象限的角;(4)若α是第二象限的角,且P(x,y)是其终边上一点,则cosα=22.xxy其中正确的命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:根据任意角三角函数的定义知(1)正确;对(2),我们可举出反例对(3),可指出,但不是第一､二象限的角;对(4),因为α是第二象限的角,已有x0,应是cosα=.答案:A2;33sinsin02sin222xxy5.若sinα0且tanα0,则α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析:∵sinα0,∴α是第三､四象限的角或角的终边在y轴负半轴上.又∵tanα0,∴α是第一､三象限的角.∴α是第三象限的角.答案:C6．角α的终边过点P(－8m，－6cos60°)且cosα＝－45，则m的值是()A.12B．－12C．－32D.32解析：P(－8m，－3)，cosα＝－8m64m2＋9＝－45，∴m＝12或m＝－12(舍去)．选A.A7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝____.－8