勾股定理易错题分析

1□勾股定理易错题分析每个学生都应该用的“超级学习笔记”勾股定理易错题分析勾股定理是初中几何的重要知识，是几何中的常用工具。初学时，很多同学常易犯各种各样的错误。下面仅选择几例，供同学们参考和借鉴，以免犯这类错误。【例1】在Rt△ABC中，a=3，b=4，求c．错解由勾股定理，得c=22ab=2243=5诊断这里默认了∠C为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b＞a时，∠B可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．当∠B为直角时，c=22ba=2243=7【例2】已知RT△ABC中，∠B=RT∠,a=2,c=22,求b.错解由勾股定理，得B=22ca=22(22)(2)=6诊断这里错在盲目地套用勾股定理“a2＋b2=c2”．殊不知，只有当∠C=Rt∠时，a2＋b2=c2才能成立，而当∠B=Rt∠时，则勾股定理的表达式应为a2＋c2=b2．正确解答∵∠B=Rt∠，由勾股定理知a2＋c2=b2．∴b=22ca=22(22)(2)=102□勾股定理易错题分析每个学生都应该用的“超级学习笔记”【例3】若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长为________．错解设第三边长为xcm．由勾股定理，得x2=62＋82．x=2268=3664=10即第三边长为10cm．诊断这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，所以第三边可能是斜边，也可能是直角边．正确解法设第三边长为xcm．若第三边长为斜边，由勾股定理，得x=2268=3664=10(cm)若第三边长为直角边，则8cm长的边必为斜边，由勾股定理，得x=2286=28=27(cm)因此，第三边的长度是10cm或者27cm.【例4】如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，AM是中线，且AM=12BC=233AD.又RT△ABC的周长是(6+23)cm.求AD．3□勾股定理易错题分析每个学生都应该用的“超级学习笔记”错解∵△ABC是直角三角形，∴AC:AB:BC=3:4:5∴AC∶AB∶BC=3∶4∶5．∴AC=312(6+23)=332AB=412(6+23)=6233BC=512(6+23)=15536又∵12ACAB=12BCAD∴AD=ACABBC=336232315536=(33)2(33)5(33)=25(3+3)(cm)诊断我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三边关系．上述解法犯了以特殊代替一般的错误．正确解法∵AM=233AD4□勾股定理易错题分析每个学生都应该用的“超级学习笔记”∴MD=222(3)3ADAD=33AD又∵MC=MA，∴CD=MD．∵点C与点M关于AD成轴对称．∴AC=AM，∴∠AMD=60°=∠C．∴∠B=30°,AC=12BC,AB=32BC∴AC+AB+BC=12BC+32BC+BC=6+23.∴BC=4．∵12BC=233AD,∴AD=12233BC=3(cm)【例5】在△ABC中，a∶b∶c=9∶15∶12，试判定△ABC是不是直角三角形．错解依题意，设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋b2=(9k)2＋(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，∴a2＋b2≠c2．∴△ABC不是直角三角形．诊断我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”．而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理．正确解法由题意知b是最长边．设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．5□勾股定理易错题分析每个学生都应该用的“超级学习笔记”∵a2＋c2=(9k)2＋(12k)2=81k2＋144k2=225k2．b2=(15k)2=225k2，∴a2＋c2=b2．∴△ABC是直角三角形．【例6】已知在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是高．求证：AB2－AC2=2BC·DE．错证如图．∵AE⊥BC于E，∴AB2=BE2＋AE2，AC2=EC2＋AE2．∴AB2－AC2=BE2－EC2=(BE＋EC)·(BE－EC)=BC·(BE－EC)．∵BD=DC，∴BE=BC－EC=2DC－EC．∴AB2－AC2=BC·(2DC－EC－EC)=2BC·DE．诊断题设中既没明确指出△ABC的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形．所以高AE既可以在形内，6□勾股定理易错题分析每个学生都应该用的“超级学习笔记”也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意．而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误。剩下的两种情况如图所示。，正确证明由读者自己完成．【例7】已知在△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n，b=24n-1,c=244n(n是大于2的偶数)。求证:△ABC是直角三角形。错证1∵n是大于2的偶数，∴取n=4，这时a=4，b=3，c=5．∵a2＋b2=42＋32=25=52=c2，∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理)．由勾股定理知△ABC是直角三角形．正解∵a2+b2=n2+(24n-1)2=n2+416n-22n+1=416n+22n+1c2=(244n)2=(214n)2=416n+22n+1由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形。诊断证明1错在以特殊取代一般．