《高考数学第一轮复习课件》第30讲_数列的概念与通项公式

新课标高中一轮总复习理数理数第五单元数列、推理与证明知识体系考纲解读1.数列的概念和简单表示法.(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表法、图象法、通项公式法）.(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数.2.等差数列、等比数列.(1)理解等差数列、等比数列的概念.(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.能在具体问题情境中，识别数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.(3)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.3.合情推理与演绎推理(1)了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.(2)了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理.(3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异.4.直接证明与间接证明(1)了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.(2)了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.5.数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.第30讲数列的概念与通项公式1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.3.会用观察法、递推法等求数列的通项公式.1.以下关于数列的叙述：①数列是以正整数集为定义域的函数；②数列都有通项，且是惟一的；③数列只能用通项公式的方法来表示；④既不是递增也不是递减的数列,则为常数列;⑤数列1,1,2,3,5,8与数列8,5,3,2,1,1是同一数列;⑥对所有的n∈N*，都有an+3=an，则数列{an}是以3为周期的周期数列.其中正确的结论有()BA.0个B.1个C.3个D.5个本题是考查数列及相关概念的题，在解题过程中，每一个叙述都有可能判断错误，故需一一给予剖析：命题①，数列可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数；命题②，不是每一个数列都有通项，有的数列不存在通项；另外，有通项公式的数列，通项公式也不一定惟一；命题③，数列除了用通项公式表示外还可以用列表法和图象法表示；命题④，数列存在递增数列、递减数列、常数数列，还有摆动数列；命题⑤，数列是有序的；⑥正确.2.数列-1,7,-13,19，…的一个通项公式是an=.(-1)n(6n-5)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比它前面数的绝对值大6，故通项公式为an=(-1)n(6n-5).3.如果数列{an}的前n项的和Sn=n2，那么这个数列的通项公式是.an=2n-1a1=S1=1，所以a1=1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1.经检验，a1符合上式，所以an=2n-1.4.在数列{an}中，若an+1=，a1=1，则a6=.21nnaa111因为an+1=a2==,a3==，a4==，a5==，a6==.21nnaa1121aa13132131515215171721719192191115.已知数列{an}(n∈N*)满足an+1=an-t(an≥t)t+2-an(ant),且ta1t+1,其中t2，若an+k=an(k∈N*)，则实数k的最小值是.4因为ta1t+1，所以a2=a1-t1t，故a3=t+2-a2=2t+2-a1t,a4=a3-t=t+2-a1t，a5=t+2-a4=a1，所以最小正周期为4，故k的最小值为4.1.数列的概念(1)数列是按一定①排列的一列数，记作a1,a2,a3,…,an,…，简记{an}.(2)数列{an}的第n项an与项数n的关系若能用一个公式an=f(n)给出，则这个公式叫做这个数列的②.顺序通项公式(3)数列可以看做定义域为N*(或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时，对应的一列函数值，它的图象是一群③.2.数列的表示方法数列的表示方法有：列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）.孤立的点3.数列分类(1)按照数列的项数分④、.(2)按照任何一项的绝对值是否超过某一正常数分:⑤、.(3)从函数单调性角度考虑分：递增数列、⑥、常数列、⑦.4.数列通项an与前n项和Sn的关系(1)Sn=a1+a2+a3+…+an；(2)an=⑧.有穷数列无穷数列有界数列无界数列递减数列摆动数列S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)题型一观察法写数列的通项公式典例精讲典例精讲例1求下列数列的一个通项公式：(1)1,-1,1,-1,…;(2)3,5,9,17,33,…;(3),2,,8,,…;(4)1,0,-1,0,1,0,-1,0,….1292252(1)an=(-1)n+1或an=cos(n+1)π.(2)an=2n+1.(3)an=.(4)an=sin.22n2n点评点评已知数列的前n项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：(1)符号用(-1)n与(-1)n+1(或(-1)n-1)来调节，这是因为n和n+1奇偶交错.(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系.(3)对于比较复杂的通项公式，要借助等差数列、等比数列（后面将学到）和其他方法来解决.(4)此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察（观察规律）、比较（比较已知的数列）、归纳、转化（转化为等差或等比数列）等方法.变式变式变式有一数列{an},a1=a，由递推公式an+1=,写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式.21nnaa分析分析可根据递推公式写出数列的前4项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而做出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.因为a1=a,an+1=,所以a2=,a3===,a4===.观察规律:an=形式，其中x与n的关系可由n=1,2,3,4得出x=2n-1.而y比x小1,所以an=.21nnaa21aa2221aa41211aaaa413aa3321aa8134113aaaa817aa1xaya1121(21)nna点评点评从特殊的事例，通过分析、归纳，总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.题型二利用数列前n项和公式求通项例2已知数列{an}的前n项和为Sn，分别求其通项公式.(1)Sn=3n-2；(2)Sn=(an+2)2(an0).18(1)当n=1时，a1=S1=1;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-2-（3n-1-2）=2·3n-1.由于a1=1不适合上式，因此数列{an}的通项公式为1（n=1）2·3n-1（n∈N*，且n≥2）.an=(2)当n=1时，a1=S1=(a1+2)2，解得a1=2.当n≥2时,Sn=Sn-Sn-1=(an+2)2-(an-1+2)2,所以(an-2)2-(an-1+2)2=0，所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0，又an0，所以an-an-1=4，可知{an}为等差数列，公差为4,所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·4=4n-2,a1=2也适合上式，故an=4n-2.181818点评点评S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)求数列的通项，特别要注意验证a1的值是否满足“n≥2”的通项公式；同时认清“an+1-an=d（常数）(n≥2)”与“an-an-1=d（d为常数，n≥2）”的细微差别.本例的关键是应用an=题型三利用递推公式求数列的通项例3根据下列条件,写出数列的通项公式：（1）a1=2，an+1=an+n；（2）a1=1，an-1=2n-1an.分析分析（1）将递推关系写成n-1个等式累加，即“累加法”.（2）将递推关系写成n-1个等式相乘，即“累积法”或用逐项迭代法.(1)(方法一)an+1=an+n，所以a2=a1+1，a3=a2+2，a4=a3+3，…,an=an-1+(n-1),所以a2+a3+…+an=(a1+a2+…+an-1)+[1+2+3+…+(n-1)]，所以an=+2=.(1)2nn242nn(方法二)因为an+1-an=n，所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=(n-1)+(n-2)+…+1+2=+2=.(1)2nn242nn(2)(方法一)因为an=,所a2=,a3=,a4=,…,an=,相乘得a2·a3·…·an=··…·an==.(方法二)因为=，所以an=··…···a1=··…·××1=.112nna112a222a332a112nna112a222a112nna112(1)2na(1)22nn1nnaa112n1nnaa12nnaa32aa21aa112n212n212112(1)22nn点评点评已知数列的递推关系，求数列的通项公式的方法大致分为两类：一是根据前几项的特点归纳猜想出an的通项公式，然后用数学归纳法证明；二是将已知递推关系整理，变形为可用“累加法”“累乘法”或新的等差数列、等比数列等，再求其通项.备选题备选题已知数列{an}的前n项的“均倒数”为.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn=，试判断并说明cn+1-cn(n∈N*)的符号.(3)设函数f(x)=-x2+4x-,是否存在最大的实数λ,使得当x≤λ时，对于一切自然数n，都有f(x)≤0.121n21nan21nan(1)由题意，得关系式a1+a2+…+an-1+an=n(2n+1),从而有a1+a2+…+an-1=(n-1)(2n-1).将两式相减，得an=4n-1(n≥2),而a1=3也满足上式,所以an=4n-1(n∈N*).(2)应用(1)的结论,得cn===2-,cn+1=2-,于是cn+1-cn=-0,即cn+1-cn0.21nan4121nn321n323n321n323n(3)由(2)知，c1=1是数列{cn}中的最小项,因为x≤λ时,对于一切自然数n,都有f(x)≤0,即-x2+4x≤=cn,所以-x2+4x≤c1=1,即x2-4x+1≥0，解得x≥2+或x≤2-,所以取λ=2-.21nan333方法提炼方法提炼数列通项公式的求法：①观察分析法；S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥２);③转化成等差、等比数列；④迭加、累乘法（见第34讲）.②公式法:an=走进高考走进高考学例1(2009·湖北卷)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种行状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()CA.289B.1024C.1225D.1378由图形可得三角形数构成的数列通项an=(n+1),同理可得正方形数构成的数列通项bn=n2,由bn=n2(n∈N*),在区间（1000，1250）中是平方数的只有322，332，342，352，又由an=(n+1)知an必为奇数，故只可能是332或352，经检验只有352==1225.2n2n49502学例2(2009·重庆卷)已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn=,n∈N*.（1）求b1,b2,b3的值；（2）设cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的前n项和，求证Sn＞17n；（3）求证：|b2n-bn|＜·.1nnaa1642117n(1)因为a2=4,a3=17,a4=72，所以b1=4,b2=,b3=.(2)证明：由an+2=4an+1+an,得=4+,则bn+1=4+.由已知递推式易得an0，bn0，所以当n≥2时，bn＞4，于是c1=b1b2=17,cn=bn+1bn=4bn+1＞17(n