用3.1.1-3.1.2空间向量及其加减与数乘运算

3.1.1-3.1.2空间向量及其加减与数乘运算aABABaaABaAB平面向量空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量几何表示法几何表示法字母表示法字母表示法向量的大小向量的大小长度为零的向量长度为零的向量模为1的向量模为1的向量长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量定义表示法向量的模零向量单位向量相反向量相等向量一：空间向量的基本概念ababOABb结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，内，成为同一平面内的两个向量。思考：空间任意两个向量是否都可以平移到同一平面内？为什么？O′说明⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。二、空间向量的加法、减法运算平面向量空间向量概念定义:具有大小、方向的量,表示法、相等向量.加法减法运算加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则运算律加法交换律abba加法结合律:()()abcabcabba加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律()()abcabc例如:a3a3a与平面向量一样,实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量.⑴当0时,a与向量a的方向相同;⑵当0时,a与向量a的方向相反;⑶当0时,a是零向量.三、空间向量的数乘运算四、空间向量加法与数乘向量运算律⑴加法交换律：a+b=b+a；⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；abcabc（3）.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()()()ababaaaaa即：（）中点公式：若P为AB中点,则12OPOAOBOABP3.A、B、P三点共线的充要条件A、B、P三点共线APtABA(1)OPxOyOBxy4、灵活性：（2）中线DABCAD21ABAC(+)(3)重心DABCＧAG=2GD=AD32(1)中位线DABCEDE=BC21五、共线向量:零向量与任意向量共线.1.空间共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作ba//2.空间共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在实数使baobba//),(,ba由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题唯一六、共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面dbac由平面向量基本定理知，如果，是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使如果空间向量与两不共线向量，共面，那么可将三个向量平移到同一平面，则有byxpapb那么什么情况下三个向量共面呢？2211eea1e2e12aa1e2e反过来，对空间任意两个不共线的向量，，如果，那么向量与向量,有什么位置关系？abbyxpab共线，，分别与bbya,ax确定的平面内，都在bbya,ax确定的平面内，，并且此平行四边形在ba共面，与即确定的平面内，在bbbyap,aaxpabABPpCp2.共面向量定理：如果两个向量，不共线，pxaybabpab则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的实数对x,y使abABPpCOAabBCPp'C3.空间四点P、A、B、C共面存在唯一实数对,,（）使得xyAPxAByAC(1)其中，OPxOAyOBzOCxyz例1、给出以下命题：（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；（2）若空间向量满足，则；（3）在正方体中，必有；（4）若空间向量满足，则；（5）空间中任意两个单位向量必相等。其中不正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4ab、ab||||ab1111ABCDABCD11ACACmnp、、,mnnpmpCA’B’C’D’ABCDa平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．平行四边形ABCD平移向量a到的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—．ABCDABCD平行六面体化简结果的向量：列向量表达式，并标出，化简下已知平行六面体''''DCBAABCD；⑴BCAB；⑵'AAADAB'21CCADAB⑶．⑷)'(31AAADABABCDA’B’C’D’例2''''ABCDABCD例2已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BCAB解：ABCDA’B’C’D’BCAB⑴AC；⑵'AAADAB'AAADAB⑵'AAAC'CCAC　'AC''''ABCDABCD例2已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：'21CCADAB⑶⑶设M是线段CC’的中点，则解：'21CCADABCMACAMABCDA’B’C’D’M)'(31AAADAB⑷设G是线段AC’靠近点A的三等分点，则G''''ABCDABCD例2已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：．⑷)'(31AAADABABCDA’B’C’D’M解：'31AC．AG例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1111111)3(2)2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111)1(例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1CCDAAB1111)1(解.11111xACCCCBABACxCCDAAB1111)1(例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1112)2(BDAD111BDADAD)(111BDBCAD111CDAD1AC1112)2(ACxBDAD.1x解：例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D111)3(ADABAC)()()(11ADAAABAAABAD)(21AAABAD12AC.2x111ACxADABAC⑶解：1.下列命题中正确的有：(1)pxaybpab　与、共面;(2)pabpxayb与、共面　；(3)MPxMAyMBPMAB、、、共面；(4)PMABMPxMAyMB、、、共面；A.1个B.2个C.3个D.4个例4:B2.对于空间中的三个向量它们一定是：A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线又不共面向量2MAMBMAMB、、－A3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，,则x的值为：OMxOAOBOC11＋＋331.1.0.3.3ABCDD4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？212(1);555OPOAOBOC(2)22OPOAOBOC；例5.如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使求证：⑴四点E、F、G、H共面；⑵平面EG//平面AC.,OEOFOGOHkOAOBOCODOBAHGFECD例5(课本例)已知ABCD，从平面AC外一点O引向量A,,,OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD求证：①四点E、F、G、H共面；②平面AC//平面EG.BCDOEFGH证明：∵四边形ABCD为①∴ACABAD（﹡）EGOGOEkOCkOA()kOCOAkAC（﹡）代入()kABAD()kOBOAODOAOFOEOHOE所以E、F、G、H共面。EFEH例5已知ABCD，从平面AC外一点O引向量,,,OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD求证：①四点E、F、G、H共面；②平面AC//平面EG。证明：由面面平行判定定理的推论得：②EFOFOEkOBkOA()kOBOAkAB由①知EGkAC//EGAC//EFAB//EGAC面面ABCDOEFGH共线向量共面向量定义向量所在直线互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推论运用判断三点共线，或两直线平行判断四点共面，或直线平行于平面)0(//abaabpabbyxpABtOAOPACyABxOAOP小结共面)1(APyxOByOxO)1(0zyxOCzOByOAxOP