解直角三角形的几种方法

冯高升1/3解直角三角形的几种方法解直角三角形是中考必考内容，其中需构造含特殊角的直角三角形再解直角三角形的问题是最受命题者青睐的。本文以近几年全国各地中考题为例说明解这类问题常用的方法。一.三角形作高法若三角形的内角（或外角）中有特殊角时，一般过非特殊角的顶点作三角形的高，可构造出含特殊角的直角三角形。b5E2RGbC例1.如图1所示，一渔船正以每小时30nmile（海里）的速度由西向东航行，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向，40min后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°方向，若以小岛C为中心，周围10nmile是危险区，这艘渔船继续向东航行是否有进入危险区的可能？p1EanqFD图1分析：在△ABC中，CAB和其外角CBM均为特殊角，因此，过非特殊角的顶点C作CDAMD于，可构造出含特殊角的RtCDARtCDB和。若设CDx，通过解RtCDARtCDB和可获解。DXDiTa9E解：作CDAB，垂足为D，设CDxx()0在中，°，故在中，°，故由，得RtCDBBDCDBDxRtCDAADCDADxABADBDxxcotcot60333033333023103CD10310，故这艘轮船继续向东航行不会进入危险区。二.梯形作高法若梯形的内角中有特殊角时，一般过较短的底作梯形的高，可构造出含特殊角的直角三角形。例2.如图2所示，塔AB和楼CD的水平距离为80m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高和楼高。RTCrpUDG冯高升2/3图2分析：在直角梯形ABDC中，有特殊角BAC，过较短底CD的端点C作梯形的高CE，可构造出含特殊角的RtAEC。解RtABDRtAEC和，得AB、AE，从而获塔高AB和楼高CD。5PCzVD7H解：作CEABEACE于，已知°45，ADBBDCEm6080°，分别解RtABDRtAEC和，得ABmAEm80380，CDBCABAEm8031()故塔高为803m，楼高为8031()m。三.延长四边形不相邻的两边使之相交法有一对角均为直角，或相邻的两角互余的四边形中有特殊角时，可延长不相邻的两边使之相交，构造含特殊角的直角三角形。jLBHrnAI例3.如图3所示，在四边形ABCD中，AB=8，BC=1，BAD=30°，ABC=60°，四边形ABCD的面积为53，求AD的长。xHAQX74J图3分析：显然四边形ABCD中有特殊角DAB和CBA，且它们互余，延长AD、BC相交于E，可得Rt△AEB。LDAYtRyK解：延长AD、BC相交于E，则E180306090°°°°()冯高升3/3在中，°，°由于可得，，四边形RtABEBEABAEABBEAESSSDEDEADAEDEABCDABECEDsincos303044312443123532323