2016-2017新课标三维文数总复习 第十三章 不等式选讲(选修4-5)

版权所有:中国好课堂第十三章不等式选讲(选修4－5)第一节绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a＝0a0|x|a{}x|－axa∅∅|x|a{}x|xa或x－a{}x∈R|x≠0R(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解．②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解．[小题体验]1．(教材习题改编)设ab0，下面四个不等式中，正确的是()①|a＋b||a|；②|a＋b||b|；③|a＋b||a－b|；④|a＋b||a|－|b|.A．①和②B．①和③C．①和④D．②和④解析：选C∵ab0，即a，b同号，则|a＋b|＝|a|＋|b|，∴①④正确，②③错误．版权所有:中国好课堂．若不等式|kx－4|≤2的解集为{}x|1≤x≤3，则实数k＝________.解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.∵不等式的解集为{}x|1≤x≤3，∴k＝2.答案：23．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．解析：f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝－3，x≤－1，2x－1，－1x2，3，x≥2.当－1x2时，由2x－1≥1，解得1≤x2.又当x≥2时，f(x)＝31恒成立．所以不等式的解集为{}x|x≥1.答案：{}x|x≥11．对形如|f(x)|a或|f(x)|a型的不等式求其解集时，易忽视a的符号直接等价转化造成失误．2．绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|中易忽视等号成立的条件．如|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≤0时等号成立，其他类似推导．[小题纠偏]1．设a，b为满足ab0的实数，那么()A．|a＋b||a－b|B．|a＋b||a－b|C．|a－b|＜|||a|－|b|D．|a－b||a|＋|b|解析：选B∵ab0，∴|a－b|＝|a|＋|b||a＋b|.2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.答案：[－2,4]考点一绝对值不等式的解法基础送分型考点——自主练透版权所有:中国好课堂[题组练透]1．(易错题)若不等式|x－a|＋3x≤0(其中a0)的解集为{}x|x≤－1，求实数a的值．解：不等式|x－a|＋3x≤0等价于x≥a，x－a＋3x≤0或xa，a－x＋3x≤0，即x≥a，x≤a4或xa，x≤－a2.因为a0，所以不等式组的解集为x|x≤－a2.由题设可得－a2＝－1，故a＝2.2．在实数范围内，解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6.解：法一：当x12时，原不等式转化为4x≤6⇒12x≤32；当－12≤x≤12时，原不等式转化为2≤6，恒成立；当x－12时，原不等式转化为－4x≤6⇒－32≤x－12.综上知，原不等式的解集为x|－32≤x≤32.法二：原不等式可化为x－12＋x＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x＝32或x＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x≤32时，满足题意，则原不等式的解集为x|－32≤x≤32.3．(2015·山东高考改编)解不等式|x－1|－|x－5|2.解：当x1时，不等式可化为－(x－1)－(5－x)2，即－42，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x≤5时，不等式可化为x－1－(5－x)2，即2x－62，解得x4，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x5时，不等式可化为(x－1)－(x－5)2，即42，显然不成立．所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．版权所有:中国好课堂[谨记通法]1．求解绝对值不等式要注意两点：(1)要求的不等式的解集是各类情形的并集，利用零点分段法的操作程序是：找零点，分区间，分段讨论．(2)对于解较复杂绝对值不等式，要恰当运用条件，简化分类讨论，优化解题过程．如“题组练透”第1题要注意分类讨论．2．求解该类问题的关键是去绝对值符号，可以运用零点分段法去绝对值，此外还常利用绝对值的几何意义求解．考点二绝对值不等式的证明(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2015·唐山三模)设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：13a＋16b＜14；(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．解：(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝3，x≤－2，－2x－1，－2＜x＜1，－3，x≥1.由－2＜－2x－1＜0，解得－12＜x＜12，则M＝－12，12.所以13a＋16b≤13|a|＋16|b|＜13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a2＜14，b2＜14.因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|.[由题悟法]证明绝对值不等式主要的3种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．版权所有:中国好课堂(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．[即时应用]已知x，y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1.证明：∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.∴由绝对值不等式的性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×16＋2×14＝1.即|x＋5y|≤1.考点三绝对值不等式的综合应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·大同调研)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x－2a|.(1)当a＝1时，求f(x)≤3的解集；(2)当x∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，由f(x)≤3，可得|2x－1|＋|x－2|≤3，∴x＜12，1－2x＋2－x≤3①或12≤x＜2，2x－1＋2－x≤3②或x≥2，2x－1＋x－2≤3.③解①求得0≤x＜12；解②求得12≤x＜2；解③求得x＝2.综上可得，0≤x≤2，即不等式的解集为[0,2]．(2)∵当x∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，即|x－2a|≤3－|2x－1|＝4－2x，故2x－4≤2a－x≤4－2x，即3x－4≤2a≤4－x.再根据3x－4的最大值为6－4＝2，4－x的最小值为4－2＝2，∴2a＝2，∴a＝1，即a的取值范围为{1}．版权所有:中国好课堂[由题悟法]1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．2．f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a.f(x)a恒成立⇔f(x)min＞a.[即时应用](2015·重庆高考改编)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，求实数a的值．解：当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|≥0，不满足题意；当a－1时，f(x)＝－3x－1＋2a，x≤a，x－1－2a，ax≤－1，3x＋1－2a，x－1，f(x)min＝f(a)＝－3a－1＋2a＝5，解得a＝－6；当a－1时，f(x)＝－3x－1＋2a，x≤－1，－x＋1＋2a，－1x≤a，3x＋1－2a，xa，f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，解得a＝4.综上所述，实数a的值为－6或4.1．(2016·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥a2－a在R上恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)原不等式等价于x≤－1，－2x≥3或－1x≤1，2≥3或x1，2x≥3，解得x≤－32或x∈∅或x≥32.∴不等式的解集为xx≤－32或x≥32.(2)由题意得，关于x的不等式|x－1|＋|x＋1|≥a2－a在R上恒成立．∵|x－1|＋|x＋1|≥|(x－1)－(x＋1)|＝2，∴a2－a≤2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2.版权所有:中国好课堂∴实数a的取值范围是[－1,2]．2．(2016·忻州模拟)已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．(1)求m＋n的值；(2)若|x－a|m，求证：|x||a|＋1.解：(1)由不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，得1≤x≤2，∴m＝1，n＝2，m＋n＝3.(2)证明：若|x－a|1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a||a|＋1.3．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)求证：f(x)≥1；(2)若f(x)＝a2＋2a2＋1成立，求x的取值范围．解：(1)证明：f(x)＝|x－1|＋|x－2|≥|(x－1)－(x－2)|＝1.(2)∵a2＋2a2＋1＝a2＋1＋1a2＋1＝a2＋1＋1a2＋1≥2，当且仅当a＝0时等号成立，∴要使f(x)＝a2＋2a2＋1成立，只需|x－1|＋|x－2|≥2，即x1，1－x＋2－x≥2或1≤x2，x－1＋2－x≥2或x≥2，x－1＋x－2≥2，解得x≤12或x≥52，故x的取值范围是－∞，12∪52，＋∞.4．(2016·唐山一模)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x＋1|.(1)当a＝1时，解不等式f(x)3；(2)若f(x)的最小值为1，求a的值．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝－3x，x≤－1，－x＋2，－1x12，3x，x≥12，且f(1)＝f(－1)＝3，所以f(x)3的解集为{}x|－1x1.(2)|2x－a|＋|x＋1|＝x－a2＋|x＋1|＋x－a2≥1＋a2＋0＝1＋a2，当且仅当(x＋1)x－a2≤0且x－a2＝0时，取等号．所以1＋a2＝1，解得a＝－4或0.版权所有:中国好课堂．(2015·南宁二模)已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若f(x)≤m的解集为{}x|－1≤x≤5，求实数a，m的值；(2)当a＝2且0≤t≤2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)．解：(1)∵|x－a|≤m，∴－m＋a≤x≤m＋a.∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，∴a＝2，m＝3.(2)f(x)＋t≥f(x＋2)可化为|x－2|＋t≥|x|.当x∈(－∞，0)时，2－x＋t≥－x,2＋t≥0，∵0≤t≤2，∴x∈(－∞，0)；当x∈[0,2)时，2－x＋t≥x，x≤1＋t2，0≤x≤1＋t2