幂函数

引例.1.如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数;2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积s=a2,这里s是a的函数;3.如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=a3,这里V是a函数;4.如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长a=S1/2这里S是a的函数;5.如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v=t-1km/s这里v是t的函数.以上问题中的函数具有什么共同特征？新课讲解.一、幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数（powerfunction），其中x是自变量，是常数.xy几点说明：1)中前面系数是1,并且后面也没有常数项；xyx2)要确定一个幂函数，需要一个条件就可以，即把常数确定下来;3)幂函数和指数函数的异同：两者都具有幂的形式，但指数函数的自变量位于指数上，幂函数的自变量是底数.例1:判断下列函数是否为幂函数.(1)y=x421)2(xy(3)y=-x221）1()4(xy(5)y=2x2(6)y=x3+2注意:幂函数的解析式必须是y=ｘa的形式，其特征可归纳为“两个系数为１，只有１项，指数a为常数”．式子名称axy指数函数:y=ax幂函数:y=xa底数指数指数底数幂值幂值幂函数与指数函数的对比判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看看未知数x是指数还是底数幂函数指数函数二、幂函数的图象及性质3xy2xyxy21xy1xyxy2xy3xy21xy1xy观察上述图象，将你发现的结论写在P78的表格内在同一平面直角坐标系内作出，，，，定义域RRR值域RR奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增上增增增上减上减上减定点（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）3xy2xyxy21xy1xy[0,)[0,)[0,)|0xx|0yy[0,)(,0](0,)(,0)幂函数性质：1.所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；2.当α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞)上是增函数(从左往右看，函数图象逐渐上升)当α＜0时，幂函数图像与x轴没有交点，在区间(0，+∞)上是减函数.(从左往右看，函数图象逐渐下降)3.当时，在第一象限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.4.当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数0练习1:如图所示，曲线是幂函数y=xk在第一象限内的图象，已知k分别取四个值，则相应图象依次为:________11,1,,22一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，指数越大其图像在上方，指数越小其图像在下方，在Y轴与直线x=1之间正好相反。C4C2C3C11.()[0,).fxx例2证明幂函数在上是增函数则且任取证明,),,0[,:2121xxxx2121212121))(()()(xxxxxxxxxfxf2121xxxx,0,0,0212121xxxxxx所以因为.),0[)()()(21上的增函数在即幂函数所以xxfxfxf方法技巧:分子有理化例3.利用单调性判断下列各值的大小。1）5.20.8与5.30.82）2.5-25与2.7-25解:(1)y=x0.8在(0,∞)内是增函数,∵5.25.3∴5.20.85.30.8(2)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数∵2.52.7∴2.5-2/52.7-2/5333)1aa和(3.)y=x3在(0,∞)内是增函数∵a+1a∴(a+1)3a3利用函数的单调性比较大小•1、若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；•2、若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；•3、若指数与底数都不同，可以借助中间数，这个中间数的底数与所比较的数的一个底数相同，指数与另外一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较。练习21、证明幂函数y=x3在定义域上是增函数.2、比较下列各组数的大小5522778822331)33.112)8()9233)()()34和和和11320.90.8和呢？1、求下列函数的定义域：（1）y=x（2）（3）y=x（4）y=x-25243注意、定义域与a的值有关系.122323xyx2、函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数，且当时，f(x)是递增的，求f(x)的解析式.3-mm2x），0（x变式训练：已知函数是幂函数21212223mymmxn求m,n的值小结1、幂函数的定义及图象特征?2、幂函数的性质形如ｙ＝ｘa（a∈Ｑ）的函数叫做幂函数．3、利用幂函数的性质比较幂值的大小在第一象限内a＞０时图象呈上升趋势；a＜０时图象呈下降趋势．过定点（１，１）a10a1a＜０xxoyyo