第3章 单相正弦交流电路

第三章单相正弦交流电路3.1正弦交流电路的基本概念3.2正弦交流电的相量表示法3.3单一参数交流电路3.4RLC串、并联交流电路3.5正弦交流电路的分析计算3.6正弦交流电路的功率及功率因数的提高3.7电路中的谐振3.8非正弦周期交流电路3.9Multisim7在正弦交流电路中应用第三章单相正弦交流电路本章要求：1.理解正弦量的三要素及正弦交流电的有效值的概念；2.掌握正弦交流电的相量表示法及其运算，熟悉基尔霍夫定律的相量形式；3.理解R、L、C在交流电路中的作用；4.掌握RLC串、并联交流中复阻抗的计算，理解RLC串、并联交流中电压与电流的相量关系，有效值关系；5.熟练掌握计算正弦交流电路的相量图法和相量解析法，会画相量图；6.理解有功功率、无功功率和视在功率的概念并掌握其计算方法，理解提高功率因数的意义并掌握其方法；7.了解串、并联谐振的条件及特征；8.了解非正弦周期交流电路的分析；9.了解Multisim7在正弦交流电路中的应用。§3.1正弦交流电路的基本概念正弦交流电：各量（电动势、电压、电流等）随时间作正弦规律变化。以正弦电流为例,对于给定的参考方向,正弦量的一般解析函数式为i(t)=Imsin(ωt+φ0)正弦量瞬时值中的最大值,叫幅值,也叫峰值，用带下标“m”的大写字母来表示。如Um、Im分别表示电压和电流的最大值。3.1.1正弦量的三要素1.幅值（最大值）如:某一正弦交流电的表达式为其波形如下，则该电流的幅值为5A2.周期与频率周期T：正弦量完成一次循环所需要的时间单位：秒（s）频率f：正弦量每秒内变化的次数单位：赫兹（Hz）角频率ω：正弦量每秒内所经历的弧度单位：弧度每秒（rad/s）1Tf小常识*电网频率：中国50Hz美国、日本60Hz*中频炉频率：500~8000Hz*有线通讯频率：300-5000Hz*无线通讯频率：30kHz-3×104MHz*高频炉频率：200~300kHz3．初相位正弦量的相位i(t)=Imsin(ωt+φ0)时的相位称为初相位：给出了观察正弦波的起点或参考点，常用于描述多个正弦波相互间的关系。：=/2==0iot注意:同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。两同频率的正弦量之间的相位之差。相位差：例如：有两个同频率的正弦电流则它们的相位差为当时，表示在相位上，超前于；当时，表示的相位滞后于；当时，表示二者相位相同;当时，表示二者相位正交;当时，表示二者相位相反。相位差是反映两个同频率正弦量相互关系的重要物理量。它表示了两个同频率正弦量随时间变化“步调”上的先后。注意:1、两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的起点选择无关。2、不同频率的正弦量比较无意义。3.1.2正弦交流电的有效值dtRiT20交流直流RTI2热效应相当有效值概念则有（均方根值）当时，2mIＩ把正弦电流有效值的概念推广到正弦电压和正弦电动势，同样可以得到注意:１、工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等,但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，可见，正弦量的有效值与其幅值之间有1∕的关系。因此，有效值可以代替最大值作为正弦量的一个要素。通常，正弦电流的瞬时表达式可写成2问题与讨论2、测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。3、区分电压和电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。UUuIIi,,,,,mm§3.2正弦交流电的相量表示法3.2.1正弦量的相量表示法图形表示法解析式表示法相量正弦量的表示方法：重点1、复数及其基本运算复数的表示形式：直角坐标式极坐标式三角式指数形式实部虚部辐角模复数还可以在复平面上用一有向线段来表示，直角坐标形式与极坐标形式之间的换算公式如下：复数的加减运算则如：复数的乘除法运算如：则说明:“j”的数学意义和物理意义:j90sinj90cosej90任一有向线段乘以+j后，有向线段的长度不变，但其辐角应从原来的位置逆时针旋转；同理，若乘以一j，则其辐角应顺时针方向旋转。如图所示。90je旋转因子：902、相量和相量图表示正弦量的复数称为相量正弦电流的相量为或电流的幅值相量电流的有效值相量注意:1、相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。2、只有正弦量才能用相量表示,非正弦量不能用相量表示。3、只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。相量也可以在复平面上用一有向线段表示。用来表示相量的几何图形，称为相量图。II如相量的相量图为已知：)45sin(10ti正误判断有效值j45则：已知：50100I正误判断)50(sin100ti最大值21002IIm36.91010(cos36.9sin36.9)86jAejj53.11010[cos(53.1)sin(53.1)]68jBejj(86)(68)142ABjjj例3-136.953.110,10jjAeBe已知复数,、ABABAB求、AB和。AB将复数、化成直角坐标形式：解：根据式(3-7)有根据式(3-8)和式(3-9)有36.953.116.2101010010016.2jjjABeee36.9253.110210jjjAeeBe(86)(68)214ABjjj例3-3i已知两正弦电流，两者相加的总电流为，即。（1）用相量法求的数学表达式；（2）画出相量图；（3）说明的最大值是否等于和的最大值之和，的有效值是否等于和的有效值之和，并说明原因。1220sin(31460),10sin(31445)itAitA12iiiii1i2i1i2ii12060mIA21045mIA12(20601045)(1017.37.077.07)(17.0710.23)19.930.9mmmIIIAjjAjAA解：1i采用相量运算，现将和用它们的最大值相量表示，即2i则总电流相量图如右图所示由于、与的最大值分别为=20A，=10A，=19.9A。显然，因而有效值。这是因为和的初相位不同，它们的最大值不是在同一时刻出现的，故最大值之间和有效值之间不能代数相加。12III1mIi1i2i2mI2i1imI12mmmIII符号说明瞬时值---小写u、i有效值---大写U、I相量（复数）---大写+“.”U最大值---大写+下标mU§3.3单一参数交流电路3.3.1纯电阻电路电流、电压的关系1).频率相同2).相位相同3).有效值关系:4).相量关系:设则(相量图)（图）3.2.2基尔霍夫定律的相量形式0I0U若电压相量正方向与绕行方向相同，取正号，反之取负号。若电流相量正方向指向节点，取正号，反之取负号第一定律：第二定律：3.3.2纯电感电路设2siniIt电流、电压的关系(2sin)2cos2sin()2LdidItuLLILtILtdtdt则1）.频率相同3）.有效值感抗4）.相量关系或2）.相位上超前i90°反映了电感对正弦交流电的阻碍作用感抗（Ω）LXL定义：电感L具有通直阻交的作用返回3.3.3纯电容电路电流、电压的关系设则1）.频率相同2）.相位滞后i90°3）.有效值容抗4）.相量关系容抗（Ω）CXC1定义：反映了电容对正弦交流电的阻碍作用电容C具有隔直通交的作用返回把一个0.1H的电感接到f=50Hz,U=10V的正弦电源上，求I，如保持U不变，而电源f=5000Hz,这时I为多少？解：(1)当f=50Hz时31.4Ω0.1503.1422fLXL318mA31.410LXUI（2）当f=5000Hz时补充例13.18mA314010LXUI电感元件具有通低频阻高频的特性3140Ω0.150003.1422fLXL已知：C＝1μF)6314sin(27.70tu求：I、iuiC解：318010314116CXC电流有效值mA2.2231807.70CXUI求电容电路中的电流补充例2瞬时值i超前于u90°§3.4RLC串、并联交流电路3.4.1相量模型电路的时域模型反映的是电压、电流与时间之间的函数关系。如果把电路的时域模型中的电压和电流的瞬时值用对应的相量形式替换，电感L用替换，电容C用替换，电阻R仍用R表示，则得电路的相量模型。(如图)3.4.2RLC串联交流电路根据基尔霍夫第二定律的相量形式有:RUIRLUjLI1CUIjC电流、电压的关系：一、电抗称为串联交流电路的复阻抗令可得到RLC串联正弦交流电路中总电压相量与电流相量之间的关系为UIZUZI或欧姆定律的相量形式因Z=所以复阻抗的模等于电压与电流有效值的比值，辐角是电压与电流相量之间的相位差。由式可知阻抗三角形感性电路容性电路电阻性电路例3-4解：已知:sin2202314Vut480Ω,233mH,0μFRLC如下图a所示的RLC串联交流电路中，试求:(1)电流相量;(2)各元件电压相量及瞬时表达式；(3)作出相量图。，电路两端的电压先把图a所示的电路时域模型转化为图b所相示的相量模型。1()ZRjLC(1)由式可得≈[40+j(70-40)]Ω=（40+j30）Ω=361[40(31423310)]3148010Zj5036.9由题意可设电压相量为V，故电流相量为2200U22004.436.95036.9UIAAZ4.436.94017636.9RUIRVV（2）各元件电压相量分别为4.436.9709030853.1LLUjXIVV1762sin(31436.9)Rut3082sin(31453.1)Lut1762sin(314126.9)Cut所对应的瞬时表达式分别为(3)其相量图如右图所示，4.436.94090176126.9CCUjXIVV22()RLCUUUU本题结果表明：，这是由于各元件电压初相位不同之故，也是交流电与直流电最大的区别之一。由相量图可看出，电路总电压有效值与电阻、电感、电容上三个电压的有效值、、之间的关系为RLCUUUUURULUCU对于两个复阻抗和串联的电路如下图所示。二、两个复阻抗串联1、电路的等效复阻抗为12ZZZ2、电流的相量为UIZ3、其分压为1122UUZZUUZZ上述结论可推广到几个复阻抗串联的电路中解：+U1U2U1Z2Z+--+-IΩ3010j58.664)j(92.5)(6.1621ZZZA022301030220ZUIV55.6239.822V55.610.922Vj9)(6.1611IZUj9Ω6.161Z有两个阻抗j4Ω2.52Z它们串联接在的电源上;求:I和21UU、，并作相量图。V30220U补充例3同理：V58103.622Vj4)(2.522IZU或利用分压公式：注意：U1UI2U583055.6相量图V58103.6V30220j58.66j42.52122UZZZUV55.6239.8V30220j58.66j96.162111UZZZU3.4.3RLC并联交流电路电流、电压的关系：根据基尔霍夫第—定律的相量形式有因312123UUUIZZZ所以又因故1231111ZZZZ即若有n个复阻抗并联，则121111nZZZZ把复阻抗的倒数定义为复导纳，用Y表示，即上式表明，在并联电路中，等效复导纳等于各支路复导纳之和。12nYYYY解:同理：+U1Z-I