第3章 参数估计和一般检验20100925

3参数估计和统计检验3.1母体和子样研究对象的全体为母体，组成母体的每个单元为个体。★通常是从母体任意抽取一部分个体进行观测，通过对子样的统计，可以对母体分布和特征作出估计和推断，这就是抽样研究法。抽样研究法是从局部描述整体的方法●一方面，子样取自母体，具有母体的特征，●另一方面，子样只是局部，不可能完全反映母体分布的规律。母体可以分为有限母体和无限母体两种情况。无限母体：无法全部观测。有限母体：可以进行全部观测，但往往是得不偿失。我们的任务是根据有限的子样观测值，来估计母体特征。3.2分布的估计描述母体中随机变量分布的函数称为母体分布函数。在很多场合采用分布函数的数字特征值表示更为方便。数学期望和方差是两个最常用的分布函数数字特征。dxxxfxE)()(dxxfxExxExExD)()]([)]([)(22数学期望的定义式为式中f(x)为概率分布密度函数。E(x)和D(x)分别称为母体数学期望和母体方差。方差的定义式为222)(21)(xexfniiixnxnieeL122222)(222)(1)2(21niixnL1222)(21)2ln(2lnniixL120)(1)(ln0)(1)(ln123niixnLniixxn11ˆniniiixxnxn11222)(1)ˆ(1ˆ[例3-1]随机变量x～N(,σ2)，子样观测值为x1,x2,…xn，求分布参数,σ2的最大似然估计值。似然函数取对数可得显然，似然函数取值最大时应有解联立方程，可得最大似然估计值这是用有限次测量所得的子样观测值，对正态母体参数作出的估计，是最常用的重要的结论。解：因x～N(u,σ2)，可知概率密度函数3.3参数的点估计3.3.1数学期望的点估计根据子样观测值来估计随机母体的分布参数，就是参数的点估计。x)()(xExE)(1)(xDnxD)()(1)(1)1()(11xExnEnxEnxnExEniinii)(1)(1)(1)1()(2121xDnxnDnxDnxnDxDniinii若随机母体x的子样观测值为x1,x2,…,xn,其子样平均值与母体数学期望及其方差之间的关系为:证明如下：根据数学期望的运算性质，可知根据方差的运算性质，可知3.3.2方差的点估计niixxnnnS1222)(11ˆ1niixxnS12)(112ˆ母体方差的估计值()用随机子样方差(S2)来表示，为子样方差的平方根叫做子样标准差，即而子样平均值的标准差则是nSxxnnSniix12)()1(13.4参数的区间估计母体参数值以多大的概率存在于某个区间，也就是说，母体参数存在于某个区间的可能性有多大，这就是区间估计。一般将这个区间表示为[A-B，A+B]的形式。3.4.1数学期望的区间估计可以证明，正态母体的子样平均值的分布也是正态的。nxDxExenxDxf)()]([212)(21)(nxDxEx)()(将它变换成标准正态分布，则令所以，～N(0,1)由附录1可查知，=2.57时概率为0.99，即P(||≤2.57)=0.9999.0])(57.2)([nxDxExP])(57.2,)(57.2[nxDxnxDx但就多数情况而论，母体方差D(x)是未知的，这种情况下，我们只能用D(x)的估计值S2来近似。nSxExnSxExt)()(2定义:随机变量母体x～N（，σ2），已知随机子样观测值为x1,x2,…,xn相互独立，则有为具有t分布的随机变量，记作t～t（n）。22)11()21()1()2()(nntnnntf01)(dxexx随机变量t的概率密度函数:式中，Γ是伽玛函数，其定义是：t分布概率密度函数曲线见图3-1。可以看出：①t分布是关于t＝0的对称曲线；②t分布与原母体分布及分布参数无关，而只与子样观测值的容量n有关。n是t分布唯一的分布参数。图3-1t分布概率密度函数曲线在n不大的情况下，母体的子样平均值只服从t分布。按t分布的规律，计算在给定置信概率下的一个临界值tα，使其满足P[|t|tα]=1-α1],[tnSxtnSxPα称为信度，也叫显著性水平，其实际意义应为冒险度。P=1-α，即为置信概率。n-1为自由度。从附录2的t函数分布表中查出临界值tα。附录2t函数分布表返回P11[例3-2]对管内流量进行8次测量，测得值为(kg/h):380.599,380.504,380.564,380.507,380.519,380.508,380.523,380.579。估计流量期望值所在区间(置信概率95%)。x],[tnSxtnSx解：测量母体的分布与方差均未给定，其子样平均值应遵从t分布。根据数据计算可得：子样平均值＝380.538子样标准差S=0.037根据题意，自由度n－1＝7，置信概率P=0.95，信度=1-P=0.05,P[|t|≤t0.05]=0.95查附录2，得t0.05＝2.365列出置信区间为将所得数据代入[380.538-2.365*0.037/2.828，380.538+2.365*0.037/2.828]即区间为[380.507，380.569],置信概率为0.95，或者说，流量期望值在区间[380.507,380.569]内的可能性为95％。3.4.2方差的区间估计定义：若x1,x2,…,xn为相互独立且服从正态N（0，1）的随机子样值，则随机变量niixx122服从自由度为f=n-1的c2分布，记作c2～c2(f)，其中f为自由度。c2(f)的概率密度函数是图3-2c2函数分布概率密度曲线)2(2)()(2212222fexxffxf若母体x～N(，2)，随机子样观测值为x1,x2,…,xn，子样方差为S2，则可以证明，)1(~1222nxSn2222)(1xxSnVi我们借助手这一结论，来研究母体方差存在的区间。为此，令随机变量V服从自由度为f=n-1的c2分布。选择下临界值V1和上临界值V2（V1＜V2），使概率为P，满足221)(10pdVVfV1][)1,2(2)1,21(2nnxVxP)1,21(222)1,2(22)()(ninixxxxxx如果选择V1时满足:则使曲线下左右两部分阴影面积相等。21)(VVPdVVf图3-3上下临界值与信度的关系附录3c2分布临界值c2(,f)表20.117.515.52.18818.516.014.11.69716.814.412.61.24615.112.811.070.831513.311.19.490.484411.39.357.810.21639.217.385.990.050626.635.023.840.0009810.010.0250.050.975f注：f为自由度自由度f应为子样容量数n减1。328110681.9)(xxii69.110681.91610681.9323[例3-3]如例3-2情况，估计流量测量方差的置信区间（置信概率为95％）。解：由例3-2的数据可得由题意可知，P=0.95,=1-95%=0.05,自由度n－1=7,查附录3，得:c2(0.025,7)=16，c2(0.975,7)=1.69估计区间为即(0.00061，0.0057)。)1,21(222)1,2(22)()(ninixxxxxx按式计算，380.599,380.504,380.564,380.507,380.519,380.508,380.523,380.579(kg/h)3.5一般统计检验测量中的系统误差、随机误差与过失误差总是纠缠在一起，难以区分。统计检验就是利用数理统计方法对误差进行分析，从而正确地评价测量数据，并对如何有效地改进实验提供有用的信息。3.5.1离群值检验有时发现在一组测量值中会有一、两个值明显地偏大或偏小，这样的测量值称为离群值或可疑值。出现离群值的原因是什么呢？数据的波动只能来自随机误差和过失误差。对离群值进行检验：如果离群值严重偏离并超出了随机误差的限度，则必包含过失误差，属异常值，应舍去。如果离群值虽离群但并没有超出随机误差所允许的范围，则属正常值，应保留。dd(1)4法根据测量值的概率分布可知，偏差大于3σ的测量值出现概率约为0.3％。此为小概率事件，而小概率事件在有限次试验中是不可能发生的。如果竟然发生了，那是不正常的。即偏差大于3σ的测量值在有限次检验中是不可能出现的，如果出现，则为异常值，是过失误差所致，应该舍去。3σ≈4δ≈4dx先将离群值除外，计算其余数据的平均值和平均偏差，如果｜x-｜≥4则离群值为异常值，舍去。否则为正常值，应保留。16.40x02.0d08.04d08.014.016.4002.40[例3-4]测定碱灰的总碱量（Na2O％）。得到5个数据:40.02，40.13，40.15，40.16，40.20。试问40.02这个数据应否舍去？解：将40.02除外，其余4个数据的平均值及平均偏差为：故40.02应舍去。112xxxxQn11xxxxQnnn(2)Q检验法将一组数据从小到大排列：x1,x2,…,xn，其中x1或xn可能为离群值，计算统计量Q。若xn为离群值，则：0.570.600.630.680.740.820.930.99Q0.990.490.510.540.590.640.730.840.97Q0.950.410.440.470.510.560.640.760.94Q0.90109876543测定次数nQ值若x1为离群值，则：Q即邻差与极差之比。如果Q大于等于表3-1中所列的临界值，离群值应舍去，否则应保留。返回P20[例3-5]用Q检验法判断例3-4中的40.02数据应否舍去（P＝95％）？61.002.4020.4002.4013.40Q解：Q0.95=0.73(n=5)Q＜Q0.95，故40.02这个数据应保留。40.02，40.13，40.15，40.16，40.20Q表格(3)格鲁布斯（Grubbs）法x将一组数据按从小到大顺序排列：x1,x2,…,xn，其中x1或xn可能为离群值，先求出这组数据的平均值及标准偏差S，然后求出统计量T。SxxT1若x1为离群值，则：SxxTn若xn为离群值，则：如果T值大于等于格鲁布斯检验临界值表（见附表4）中所列T,n，离群值应舍去，否则应保留。为显著性水平，即把正常值判为异常值之类错误的概率。与置信度P之间的关系为：=1-P。附表4格鲁布斯检验临界值T,n表注：n为数据个数13.40x068.0S62.1068.002.4013.40T[例3-6]用格鲁布斯法检验例3-4中40.02这一数据应否舍去（P=95％）？解：T0.05,5=1.672TT0.05,5故40.02这一数据应保留。离群值检验最好采用格鲁布斯法。此外，Q检验法也优于4d法。40.02，40.13，40.15，40.16，40.203.5.2平均值检验nStxf,(1)平均值与标准值的比较为了判断是否存在系统误差，可以将所得样本的平均值与标准值作比较，进行t检验。的波动范围为x],[,,nStnStffnSxt●如果t值临界值t,f，说明平均值对的偏离已超出随机误差的范围，必存在系统误差，称平均值与之间存在显著性差异。●如果tt,f，原假设无系统误差成立，称平均值与之间无显著性差异。[例3-7]用一种新方法测定标准试样中的二氧化硅含量（％），得以下8个数据：34.30，34.32，34