12-8二阶常系数非齐次线性微分方程

第八节二阶常系数非齐次线性微分方程一、二阶常系数非齐次线性方程解法第十二章型xmexPxf)()(.1型]sin)(cos)([)(.2xxPxxPexfnlx分析由线性微分方程解的结构定理知，求(8.1)的通解的关键是求与(8.1)对应的齐次线性方程(8.2)的通解Y及(8.1)的一个特解y*.)1.8()(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程：一、二阶常系数非齐次线性方程解法对应齐次线性方程:)2.8(0][yqypyyL.,均为实常数其中qp(8.1)的通解结构:,yYy如何求(8.1)的特解？方法：待定系数法.,)(1110mmmmmaxaxaxaxP其中.0),,2,1(,0amiai均为常数，必有如下形式的特解：方程)1.8(xmkexQxy)(,)(110mmmmbxbxbxQ其中均为待定常数，),,2,1(mibi的取法如下：所确定由方程k;)1.8(xmexPxf)()(类型1k非特征根0特征单根1特征重根2推导如下：设非齐次线性方程(8.1)的特解为xexQy)(x的待定多项式xxexQexQy)()()(则xexQxQxQy)]()(2)([)(2xexQxQ)]()([代入方程(8.1),得)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQmqyypyyL)()(][)]()()()2()([2xQqpxQpxQexxmexP)(的解是方程)1.8(y即)3.8()()()()()()(xPxQFxQFxQmprrFqprrrF2)()(2特征多项式不是特征方程的根，若)1(,0)(2qpF)3.8()()()()()()(xPxQFxQFxQm:),3.8(同次幂的系数对比两端代入x,)()(110mmmmbxbxbxQxQ可设)()(00mxabF)()()(1101mxambFbF)(2)()(021xabbFbFmmmm是特征方程的单根，若)2(,0)(2qpF,02)(pF;)()1.8(xmexQy有特解：0)(F,,,,10可由此方程组唯一确定mbbb,0).(kxQm此时，即可确定)3.8()()()()()()(xPxQFxQFxQm)3.8()(0)()()(xPxQFxQm)0()(0110BBxBxBxQmmm取1110)(mmmmbxbxbxbxQ则0)1.8(1mb的特解，可取为了求),(xxQm;)(xmexxQy)()(110mmmbxbxbxxQ可设.1k此时，有如下形式的特解：方程)1.8(是特征方程的重根，若)3(,0)(2qpF,02)(pF),()(2xQxxQm可设.)(2xmexQxy综上所述：的特解可设立为：)1.8(是特征重根是特征单根不是特征根,2,,1,0k注上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数).是方程xmkxexQxexQy)()(的解xmnnnnexPypypypy)(1)1(1)()()()()(!1)()()!1()()()1()1()(xPxQFxQFxQnFxQmnnn,)(xmkexQxy例1特解应如何设立？如下时，问设)(),(xfxfyy解02rr特征方程：1,021rr特征根：)(xfy设立特解23x)0()(2cbxaxxxe)1(k1xaex1xx2)2ln(0xbax2)(xxexexxcexebax)(xxexexf)(,xxeyy对于1不是特征根，0k可设立特解：,)(1xebaxy)()(21xfxf,xeyy对于1是特征单根，1k可设立特解：,2xcexy由解的叠加原理，,xxexeyy对于可设立特解：21yyy.232的通解求方程xxeyyy解2°对应齐次线性方程通解1°特征方程,0232rr特征根，，2121rr,221xxececY是单根，23,)(2xeBAxxy设立特解：代入方程,得xABAx22xexxy2)121(于是原方程的通解为：4例2.)121(2221xxxexxeCeCy,121BA例3.012axyay的通解，其中常数求方程解02yay对应的齐次线性方程：(1)(2)特征方程：022ar时，特征根：当0)1(a02,1r(2)之通解：xCCy21,)1(1)(0xexxxf是二重特征根，02k的特解形为可设立)1()(2BAxxy23BxAx,23)(2BxAxyBAxy26)(代入(1)，得126xBAx1216BA21,61BA故(1)有特解：)2161(2xxy时，当0a(1)的通解为：).2161(221xxxCCy另法:时，当0a方程(1)为:1xy1221Cxxy21232161)1(CxCxxy之通解：时，特征根：当0)2(aair2,1(2)之通解：axCaxCysincos21不是特征根，00k的特解形为可设立)1(BAxy0)(,)(yAy代入(1)，得1)(2xBAxa21aBA故(1)有特解：)1(12xay时，当0a(1)的通解为：).1(1sincos221xaaxCaxCy.;)(),(为实常数，多项式次实系数次和的分别是其中mlxxPxPnl必有如下形式的特解：方程)1.8(xmmkexxRxxRxy]sin)(cos)([)2()1(的取法如下：其中k=+ik非特征根0特征根1的待定多项式，为xxRxRmm)(),()2()1(}.,max{nlm]sin)(cos)([)(xxPxxPexfnlx类型2引理是方程若)()(xixy),()()(为实常数qpxivxuqyypy均为实函数，则的解，)(),(),(),(xxxvxu分别是方程)(),(xx)(xuqyypy)(xvqyypy和.的解结论的思路：推导类型2.12的情形转化为类型将类型]sin)(cos)([)(xxPxxPexfnlx]22[ieePeePexixinxixilxxinlxinleiPPeiPP)()()22()22()()(xgxg利用欧拉公式，得的结论如下：推导类型2xinlxinlePiPePiP)()()22()22()](2Re[xg考虑：)4.8()(2][xgyqypyyL其中xmexQ)()()(xvixu)(xQm),()(xiPxPnli)(xu)(xf，属于类型1)4.8(必有如下形式的特解：，},max{nlm)Re(1yy则的解，是若)4.8(1y.)1.8(的解必是)1.8()(][xfqyypyyL)(2xgxnlexiPxP)]()([)](2Re[xg,)(1xmkexDxy的待定多项式，为其中xxDm)(是特征单根，不是特征根iik1,0),()()()2()1(xiRxRxDmmm设均为实系数多项式，则ximmkexiRxRxy)()2()1(1)]()([)sin(cos)]()([)2()1(xixexiRxRxxmmk其中)(),()2()1(xRxRmmxmmkexxRxxRx]sin)(cos)([)2()1(xmmkexxRxxRxi]cos)(sin)([)2()1(xmmkexxRxxRxy]sin)(cos)([)Re()2()1(1由引理，知的解，则是若)4.8(1yxmmkexxRxxRxyy]sin)(cos)([)Re()2()1(1.)1.8(的解必是)sin(cos)]()([)2()1(xixexiRxRxxmmk1y例4特解应如何设立？如下时，问设)(),(xfxfyy解03rr特征方程：irr3,21,0特征根：)(xfy设立特解xxex2cos)21(ik]2sin)(2cos)[(xdcxxbaxex02cos2x)sincos(xbxax)1(cos21x)(1i)0(2cx1.sin4的通解求方程xyy解2º对应齐次线性方程的通解,sincos21xCxCY例5012r特征方程：ir21，特征根：1º3º求非齐次线性方程的特解(方法1),是特征单根i1k可设立原方程的特解为)sincos(xbxaxyxyysin4)sincos(xbxaxy)cossin()sincos()(xbxaxxbxay)sincos()cossin(2)(xbxaxxbxay代入原方程，得)cossin(2xbxaxsin4比较同类项系数：42a02b0,2ba从而原方程有特解：xxycos2故原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCyxixeixsincos注意到：，)sin4(cos44xixeix)(xu)(xvxeixsin4)4Im((方法2)irxyy2,1sin4特征根：，作辅助方程ixeyy4,是特征单根i①可设①的特解形为：xiAexy1代入①式，得ixixAxeexiAyy)2()(11ixeAi2ixe4,42Ai,2iAixeAi2ixe4ixixey21从而)sin(cos2xixix,)cos2(sin2ixxxxxxfsin4)()4Im(ixe)4(的虚部ixe原方程有特解：xxyycos2)Im(1故原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy例6(综合题).)!3(03的和函数求nnnx,)!3()(03nnnxxss),(x)!3(!9!6!313963nxxxxn)!13(!8!5!213852nxxxxsn)!23(!7!4!12374nxxxxsn解sssxe?s.0)0(,1)0(ssxesss对应的齐次线性方程：①0sss②其特征方程为012rr特征根为ir23212,1∴②的通解为)23sin23cos(212xCxCeSx01k不是特征根，设非齐次线性方程①的特解为xAes代入①，得31A故①有特解：xes31①的通解为：sSsxxexCxCe31)23sin23cos(212时，有当又0x0)0(1)0(ss311C3123